Charakteristik (Ring)

Beschreibung

Die Charakteristik eines Ringes beschreibt seine Größe.

Definition

Sei $R$ ein Kommutativer Ring. Die Charakteristik eines Ringes $R$ ist definiert durch $char(R)=\{\begin{array}{ll}n& \text{falls }n\in \mathbb{N}\text{ minimal mit }n\cdot 1_R=0_R\text{ ist, }\\ 0& \text{falls }n\cdot 1_R\ne 0_R\text{ fu¨r alle }n\in \mathbb{N}\text{ gilt}\end{array}$

Übungen

Checkliste Gerkmann

Aufgabe 1

Wenn $L|K$ eine Körpererweiterung ist, warum haben $K$ und $L$ dann die gleiche Charakteristik?

$L$ ist ein $K$-Vektorraum. Elemente aus $L$ lassen sich als Linearkombination von Basiselementen aus $K$ beschreiben: Multipliziert man die Charakteristik von $K$, dann sind alle Komponenten $0$. $L$ enthält desweiteren $K$, die Charakteristik kann durch die Erweiterung also nicht kleiner werden.

Aufgabe 2

1. Gibt es endliche Körper mti Charakteristik $0$?

2. Gibt es unendliche Körper mit endlicher Charakteristik?

3. Nein, ist die Charakteristik 0, dann kann man aus $1$ immer neue Elemente $na$ erzeugen. Angenommen, die Elemente $n1,m1$ wären gleich, dann wäre $m1-n1=(m-n)1=0$, und der Körper hätte Charakteristik $(m-n)$

4. Ja, zum Beispiel $F_2^{alg}$