Prime ideal

Description

Primideale sind die Ideale, die sich bezüglich der Multiplikation von zwei Idealen $IJ$ wie Primelemente verhalten. Siehe dazu in die Eigenschaften. Principal Prime ideals correspond to Prime elements.

Definition

Ein Two-sided Ideal $\mathfrak{p}$ in einem Commutative Ring $R$ wird Primideal genannt, wenn $\mathfrak{p}\ne (1)$ gilt und für alle $a,b\in R$ die Implikation $ab\in \mathfrak{p}⟹a\in \mathfrak{p}\text{ oder }b\in \mathfrak{p}$ erfüllt ist.

Definition by product of ideals

Ein Primideal ist wie ein Prime element. Ein Ideal $\mathfrak{p}$ in einem Ring $R$ ist genau dann ein Primideal in $R$, wenn $\mathfrak{p}\ne (1)$ ist und gilt: $\mathfrak{p}\subseteq IJ⟹\mathfrak{p}\subseteq I\text{ oder }\mathfrak{p}\subseteq J$

Analogy to prime elements

Sei $R$ ein Integritätsbereich und $p\in R,p\ne 0$. Das Two-sided Principal ideal $(p)$ ist genau dann ein Primideal, wenn $p$ ein Prime element ist.

Characterisation by quotient

Sei $R$ ein Commutative Ring. $\mathfrak{p}$ ist genau dann ein Primideal, wenn $R/\mathfrak{p}$ ein Integral domain ist.

Note that the Maximal ideal has a very similar characterisation, immediately showing that maximal ideals are more special.

Examples

Maximal ideals

Jedes Maximal ideal ist ein Primideal.