Ordnungserhaltender Zopf

Beschreibung

Ein Zopf induziert einen Automorphismus einer freien Gruppe. Existiert eine Bi-Ordnung $<$ auf der Freien Gruppe, die durch den Automorphismus erhalten bleibt, so nennen wir den Zopf ebenfalls Ordnungserhaltend.

Charakterisierung

Ein Zopf $\beta \in B_n$ ist ordnungs-erhaltend genau dann wenn die Fundamentalgruppe ${\pi }_1(S^3\backslash br(\beta ))$ der Geflochtene Verschlingung bi-geordnet ist.

Eigenschaften

Ordnung ist Volldrehung invariant

Ein Zopf $\beta \in B_n$ ist genau dann ordnungserhaltend, wenn $\beta {\Delta }^{2k}$ ordnungserhaltend ist. ($\Delta$ ist die Positive Halbdrehung). Die beiden Zöpfe erhalten die gleichen Ordnungen.

Das ist nützlich, da jeder Zopf in Garside positiver Zopf-Form geschrieben werden kann. Damit lässt sich die Frage um ordnungserhaltung immer auf.

Invarianz unter Konjugation

Ein Zopf $\beta$ ist genau dann Ordnungserhaltend, wenn $\alpha \beta {\alpha }^{-1}$ Ordnungserhaltend ist.

Bilden keine Untergruppe

Die Menge der Ordnungserhaltenden Zöpfe $O{P}_n$ bilden für eine Fadenzahl $n>2$ keine Untergruppe.

Erzeugen die Zopfgruppe

Die Menge der Ordnungserhaltenden Zöpfe $O{P}_n$ ist groß genug, dass sie die Zopfgruppe $B_n$ erzeugt.

Beispiele

Nichtbeispiel Generatoren

Die Generatoren ${\sigma }_i$ sind nicht ordnungserhaltend.

Beweis: Angenommen ${\sigma }_i$ erhält Ordnung. Sei $x_i$ die Schleife um die $i$-te Bohrung. Es gilt $x_i^{{\sigma }_i}=x_i{x}_{i+1}{x}_i^{-1}<x_i=x_{i+1}^{{\sigma }_i}$. Das ist ein Widerspruch.

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