Linksnormalform

Beschreibung

Die Linksnormalform (auch Garside Normalform, engl. left normal form) ist eine Normalform für Zöpfe. Hier werden Zöpfe als Potenz der Positive Halbdrehung und einem Positiver Zopf geschrieben.

Klassische Normalform

Jeder Zopf $a\in B_n$ kann eindeutig geschrieben werden als $a={\Delta }^{k}A$ für ein $k\in \mathbb{Z}$ und mit $A\in B_n^{+}$ positiv.

Beweis: Für jeden Erzeuger ${\sigma }_i$ gilt ${\sigma }_i<\Delta$, d.h. es gibt ein $X_i\in B_n^{+}$, sodass $\Delta ={\sigma }_i{X}_i$. Damit lässt sich ein Vorkommen von ${\sigma }_i^{-1}$ ersetzen durch $X_i{\Delta }^{-1}$. Das ${\Delta }^{-1}$ kann nun nach links geschoben werden, ohne dass $X_i$ die Positivität verliert. Das Wort hat am Ende die Form ${\Delta }^{k^{\prime }}{A}^{\prime }$. Gilt dann $\Delta <A^{\prime }$, so kann man das $\Delta$ in das wiederholt in den anderen Faktor schreiben. Das resultierende ${\Delta }^{k}A$ ist dann eindeutig.

Verbesserte Normalform

Es ist möglich die Normalform noch weiter zu verbessern, indem wir $A$ eindeutig in simple Elemente faktorisieren. Da eine Zerlegung in Permutationszöpfe üblicherweise nicht eindeutig ist, wählen wir eine gierige Herangehensweise, bei der wir so viele Generatoren wie möglich in die linken Elemente schieben. Wir erhalten die Normalform: $a={\Delta }^p{a}_1...a_r$ mit $p$ maximal, $a_i$ eigentlicher Permutationszopf (nicht $e$ oder Potenz von $\Delta$) und sodass jedes $x_i{x}_{i+1}$ linksgewichtet ist. $x_i{x}_{i+1}$ ist linksgewichtet, wenn: Kann $x_{i+1}$ als ein positives Wort beginnend mit ${\sigma }_k$ geschrieben werden, dann kann auch $x_i$ als ein Wort, endend mit $x_i$ geschrieben werden (die Idee ist hier, dass jede Kreuzung die in $x_{i+1}$ ist, nach Möglichkeit in $x_i$ geschoben wurde)

Eine alternative Definition von links-Gewichtung nutzt die Eigenschaft des Verbands: Sei für ein simples Element $s$ die Komplement $\partial (s)=s^{-1}\Delta$.$x_i{x}_{i+1}$ ist links-gewichtet, genau dann wenn $\partial (x_i)\wedge x_{i+1}=1$. (also wenn das Komplement und das nächste Symbol keinen gemeinsamen Präfix haben).

Wir erhalten dadurch das Infimum und Supremum (Zopf) $\inf (a)=p,\sup (a)=p+r$, $l(a)=r$ wird als Kanonische Länge eines Zopfes bezeichnet.

Definition: Initial und Finaler Faktor

Sei $\tau (x)={\Delta }^{-1}x\Delta$. Wir definieren folgende Hilfemittel:

• Initialer Faktor: $ı(x)=\Delta \wedge (x{\Delta }^{-\inf (x)})=x_1$
• Finaler Faktor: $\phi (x)=(x\wedge {\Delta }^{-\sup (x)-1}{)}^{-1}x=x_r$

Man kann zeigen, dass gilt: $ı(x^{-1})=\partial (\phi (x))$

Thurston hat sich natürlich auch in diesen Bereich der Mathematik eingemischt. Er zeigte, dass diese Normalform eines Wortes der Erzeuger von $B_n$ mit Komplexität $O(l^{2}l\log n)$ berechnet werden kann, wobei $l$ die Länge des Wortes ist.

Eigenschaften

Eigenschaft: Garside Kanonische Länge

Für einen $3$-pseudo-Anosov Zopf $\beta ={\Delta }^{2j}{\sigma }_1^{p_1}{\sigma }_2^{-q_1}...{\sigma }_1^{p_k}{\sigma }_2^{q_k}$ ist die Garside kanonische Länge $p_1+q_1+...+p_k+q_k$ also genau die Agol Zykel-Länge.

Beispiele

Beispiel: ${\sigma }_1^p{\sigma }_2^{-q}$

Für positive Zahlen $p,q\in \mathbb{N}$ ist die Garside Normalform gegeben durch: \begin{align} &\Delta^{-q}\sigma_{2}^{p} \cdot (\sigma_{2})(\sigma_{1})(\sigma_{1}\sigma_{2})... (\sigma_{2}\sigma_{1}) &&\text{wenn $q$ ungerade} \\ &\Delta^{-q}\sigma_{2}^{p} \cdot (\sigma_{2})(\sigma_{1})(\sigma_{1}\sigma_{2})... (\sigma_{2}\sigma_{1})(\sigma_{2}\sigma_{1}) &&\text{wenn $q$ gerade}\end{align} Die kanonische Länge ist damit $p+q$.

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