Hermite Interpolation

Beschreibung

Üblicherweise werden zur Interpolation durch Polynome Stützpunkte verwendet. Stattdessen kann man manche Punkte auch durch die Information einer Ableitung ersetzen.

Definition

$n,r\in \mathbb{N}$ verschieden und seien $x_0,...,x_r$ verschiedene Punkte. Seien $m_0,...,m_r\in \mathbb{N}$ Zahlen, die die Ableitungsstufe beschreiben. Setze voraus $n+1:={\sum }_{k=0}^r{m}_k$.

Seien nun bezeichne nun mit $y_j^{(m)}\in K$ den Wert der $m$-ten Ableitung an der Stelle $x_j$. Wir setzen voraus, dass $y_j^{(m)}$ für alle $j=0,...,r$ und $m=0,...,m_j$ bekannt ist.

Dann gibt es genau ein Polynom $f\in K[x{]}_n$ mit Grad $\le n$, das an den oberen Werten die oberen Ableitungen hat.

Beweis: Die Funktion $A:K[x{]}_n\to K^{n+1},A(p):=(p({\tilde{x}}_0),...,p^{(m_0-1)}({\tilde{x}}_0),...,p({\tilde{x}}_r),...,p^{(m_r-1)}({\tilde{x}}_r))$ ist linear und bijektiv, da der Kern $\{0\}$ ist. Damit gibt es genau ein Polynom dessen Bild unter $A$ die $y_j^{(m)}$ sind.

Notation

Sei $(x_0,...,x_n)=({\tilde{x}}_0,...,{\tilde{x}}_0,...,{\tilde{x}}_r,...,{\tilde{x}}_r)$ und seien außerdem Werte für die Punkte gegeben. Schreibe $P[x_0,...,x_n]\in K[x{]}_n$ für das eindeutige Interpolationspolynom zu den oberen Daten Anscheinend sind die $y$-Werte kein Teil der Notation. Das Polynom hängt aber trotzdem von der Wahl der $y_j^{(i)}$ ab!

Interpolation einer Funktion $g$

Sind alle Einträge $x_0,...,x_n$ verschieden (d.h. es gibt keinen Wert einer Ableitung) und die $y$-Werte werden durch eine Funktion $g:K\to K,{\tilde{x}}_j\mapsto y_j^{(0)}$ so schreibe auch $P[g\mid x_0,...,x_n]:=P[x_0,...,x_n]$ Das Polynom ist in diesem Fall einfach das Lagrangesches Interpolationspolynom.

Interpolation durch Newtons Interpolationsformel

Newtonsche Interpolationsformel gibt eine relativ simple Lösungsformel für Hermite Interpolationen.

Eigenschaften

Abschätzung von mehrfach differenzierbaren Funktionen

Sei $g\in C^n[a,b]$ eine Mehrfach Differenzierbare Funktion. Sei $p:=P[g|x_0,...,x_n]$ die Hermite Interpolation von $g$. Man kann $g$ schreiben als $g(x)=p(x)+[g|x,x_0,...,x_n]{\omega }_{n+1}(x)$

Wobei ${\omega }_{n+1}(x)={\prod }_{i=0}^n(x-x_0)$

Den hintersten Term kann man behandeln wie einen Fehler. Ich bin überrascht, dass so etwas überhaupt für eine beliebige Funktion möglich ist.

Diese Abschätzung lässt sich verbessern zum Mittelwertsatz für dividierte Differenzen