Beschreibung
Der Satz von der impliziten Funktion beinhaltet ein relativ einfaches Kriterium, wann eine implizite Gleichung (lokal) eindeutig aufgelöst werden kann.
Er gibt an, unter welchen Bedingungen eine Gleichung in zwei Variablen eine Funktion definiert, für die gilt.
Ist die Bedingung des Satzes erfüllt, kann die Ableitung als Funktion von und ohne Kenntnis der expliziten Funktion gewonnen werden.
Definition
Seien offene Mengen und
(x, y) &\mapsto F(x, y) \end{align}$$ sei eine Differenzierbare Abbildung. Die [[Jacobi-Matrix|Jacobi-Matrix]] $$DF = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1} & ... & \frac{\partial F_1}{\partial x_m} & \frac{\partial F_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial F_1}{\partial y_n}\\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial F_n}{\partial x_1} & ... & \frac{\partial F_n}{\partial x_m} & \frac{\partial F_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial F_n}{\partial y_n} \end{pmatrix}$$ Besteht dann aus zwei Teilmatrizen $\frac{\partial F}{\partial x}$ und $\frac{\partial F}{\partial y}$, wobei letztere quadratisch ist. Der Satz von der impliziten Funktion besagt nun: Erfüllt $(x_0, y_0) \in U \times V$ die Gleichung $F(x_0, y_0) = 0$ und ist die zweite Teilmatrix $\frac{\partial F}{\partial y}$ im Punkt $(x_0, y_0)$ invertiertbar, so existieren offene Umgebungen $U_0 \subseteq U$ von $x_0$ und $V_0 \subseteq V$ von $y_0$ sowie eine eindeutige stetig differenzierbare Abbildung $f: U_0 \to V_0$ mit $f(x_0) = y_0$ so, dass für alle $x \in U_0, y \in V_0$ gilt $$F(x, y) = 0 \iff y = f(x)$$ # Eigenschaften