Galoisgruppe endlicher Körper

Beschreibung

Endliche Körper haben spezielle Galoisgruppen. Daher ist es sinnvoll extra darauf einzugehen.

Charakterisierende Eigenschaften

Eine Körpererweiterung ${\text{F}}_{(p^r{)}^n}|{\text{F}}_{p^r}$ ist immer eine Galoiserweiterung.

Eigenschaften

Zyklische Gruppe

Die Galoiserweiterung ${\text{F}}_{(p^r{)}^n}|{\text{F}}_{p^r}$ wird vom Frobenius-Automorphismus ${\phi }_{{\text{F}}_{(p^r{)}^n}|{\text{F}}_{p^r}}$ erzeugt, ist also eine Zyklische Gruppe.

Isomorphie

Durch \begin{align} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} &\to G \\ a &\mapsto \varphi^a \end{align} ist ein Gruppenisomorphismus definiert.¹

\newcommand{\R}{\mathbb R}

Footnotes

1. Gerkmann - Satz 18.2 ↩