Kovariante Graßmann-Algebra

Beschreibung

Die Graßmann-Algebra ist eine neue Algebra zu Tensoren. Im Gegensatz zur Normalen Tensoralgebra wird aber hier mit “alternierenden Tensoren” gearbeitet.

Es handelt sich um eine Abgestufte Assoziative Algebra mit Einheit.

Definition

Der Raum der Algebra ist definiert durch die Äußere Direkte Summe (Lineare Algebra) aller Äußeren Potenzen. ${\Lambda }_{\ast }:={⨁}_{k=0}^{\infty }{\Lambda }_{k}V$

Produkt

Das Produkt ist das Abgestufte Keilprodukt $\wedge :{\Lambda }_{\ast }V\times {\Lambda }_{\ast }V\to {\Lambda }_{\ast }V$ ist induziert durch das Tensorprodukt und die bilineare Fortsetzung der normalen Keilprodukte $\wedge {\Lambda }_{k}V\times {\Lambda }_{l}V\to {\Lambda }_{k+l}$

Duale Graßmann-Algebra

Siehe Kontravariante Graßmann-Algebra

Charakterisierungen

Quotient

Man kann die Graßmann-Algebra über einen Quotienten definieren ${\Lambda }_{\ast }V\cong T_{\ast }V/I_{\ast }V$ wobei $I_{\ast }V:={⨁}_{k=0}^{\infty }{I}_{k}V$

Eigenschaften

Dimensionen

Die Dimension von ${\Lambda }_{\ast }V$ ist die Summe aller Dimensionen von $\Lambda :kV$. Wir erhalten: $\dim {\Lambda }_{\ast }V=2^{\dim V}$

Kovariant

Die Algebra ist kovariant, d.h. eine lineare Abbildung $V\to W$ induziert eine Lineare Abbildung ${\Lambda }_{k}V\to {\Lambda }_{k}W$ und ${\Lambda }_{\ast }V\to {\Lambda }_{\ast }W$

Eigenschaften von $I_{\ast }V$

Ideal

$I_{\ast }V$ ist ein Ideal, welches durch $v\otimes v$ erzeugt ist.

Beispiele

${\Lambda }_{0}V$ Skalare

Das sind einfach Skalare.

${\Lambda }_{1}V$ Vektoren

${\Lambda }_{1}V$ besteht aus Vektoren.

${\Lambda }_{2}V$ Parallelogramme

Simple Objekte aus ${\Lambda }_{2}V$ beschreiben Parallelogramme, die durch zwei Vektoren aufgespannt sind

${\Lambda }_{3}V$ Spate

Simple Objekte aus ${\Lambda }_{3}V$ beschreiben Spate, die durch drei Vektoren aufgespannt sind