Delta-Complex

Description

Der Delta-Komplex ist eine Verallgemeinerung des Simplizialkomplex. Wir erlauben diesmal, dass mehrere Seiten eines Simplex miteinander zusammengeklebt werden können.¹ Es sieht aber wie eine Glatte Triangulation aus. Es ist vermutlich nützlich, weil es ein sehr kombinatrisches Objekt ist und weil offene Mengen erhalten werden.

Definition

Eine $\Delta$-Komplex-Struktur auf einem Raum $X$ ist eine Menge von Abbildungen ${\sigma }_{\alpha }:{\Delta }^n\to X$, sodass

• Injektive Abbildung: Die Einschränkung ${\sigma }_{\alpha }{|}_{\mathring{{\Delta }^n}}$ ist injektiv und jeder Punkt von $X$ ist im Bild von genau einer Einschränkung ${\sigma }_{\alpha }{|}_{\mathring{{\Delta }^n}}$
• Kein Zusammendrücken Jede Einschränkung ${\sigma }_{\alpha }$ zu einer Seite von ${\Delta }^n$ ist eine Abbildung ${\sigma }_{\beta }:{\Delta }^{n-1}\to X$. Hierbei wird eine Seite von ${\Delta }^n$ mit ${\Delta }^{n-1}$ durch die kanonischen lineare Abbildung identifiziert, die die Ordnung der Ecken erhält
• Erhält offene Mengen Eine Menge $A\subseteq X$ ist offen, genau dann wenn ${\sigma }_{\alpha }^{-1}(A)$ offen in ${\Delta }^n$ für alle ${\sigma }_{\alpha }$ ist.

${\Delta }^n$ is hierbei das Standard simplex.

Eigenschaften

Eigenschaft

Footnotes

1. https://math.stackexchange.com/questions/1528005/simplicial-complex-vs-delta-complex-vs-cw-complex ↩