Normal extension

Description

Normal field extensions are those that correspond with a polynomial. (Similar to how a Principal ideal can be identified with a number). This makes them very similar to Splitting fields. Note however, that there are splitting fields of infinitely many polynomials which are not normal. Furthermore they are those extensions which correspond to Normal subgroup.

Definition

Eine Algebraische Erweiterung $L|K$ heißt normal, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Ist $f\in K[x]$ ein irreduzibles Polynom, das in $L$ eine Nullstelle besitzt, dann zerfällt $f$ über $L$ in Linearfaktoren.[^1]

Charakterisierung: Äquvalenz zu endlichen Zerfällungskörpern

Sei $K$ ein Körper, und seien $\tilde{K}\supseteq L\supseteq K$ Erweiterungen von $K$, wobei $L|K$ endlich und $\tilde{K}$ algebraisch abgeschlossen ist. Dann ist $L|K$ genau dann normal, wenn

• Es gibt ein nicht-konstantes Polynom $f\in K[x]$, so dass $L$ der Splitting field von $f$ über $K$ ist. ODER
• Es gilt $Ho{m}_K(L,\tilde{K})=Au{t}_K(L)$

Characterisation: Counterpart of normal Galois subgroups

Eine Erweiterung ist normal, wenn seine zugehörige Galoisgruppe ein Normalteiler ist oder so. Siehe Hauptsatz der Galoistheorie.

Properties

Normallity transfers to subfields

Ist $L|K$ eine normale Erweiterung und $M$ ein Zwischenkörper von $L|K$, dann ist auch die Erweiterung $L|M$ normal.[^1]

This mirrors the fact that a subgroup $N\subseteq G$ is normal in a bigger subgroup $N\subseteq U\subseteq G$.

Examples

Extension over fields with roots of unity

Wenn ein Körper $K$ alle $p$-ten Wurzeln der Einheit enthält und wenn $a^p\in K$ aber $a\notin K$, dann ist $K(a)|K$ eine Normal extension von $K$

Extensions of degree 2

Sei $K$ ein Körper und $L|K$ eine Erweiterung von Grad 2. Dann ist $L|K$ normal.[^2]

Beweis: o.E. sei $f$ normiert. Dann gilt $f={\mu }_{\alpha ,K}⟹[K(\alpha ):K]=grad(f)$…