Algebraische Erweiterung

Beschreibung

Der Algebraische Körper ist ein Erweiterungskörper welcher nur algebraische Elemente bzgl. dem ursprünglichen Körper enthält.¹

Charakterisierende Eigenschaften

Erweiterungen und Teilkörper

Seien $L|K$ und $M|L$ Körpererweiterungen. Genau dann ist die Erweiterung algebraisch, wenn $L|K$ und $M|L$ beide algebraisch sind. ²

Hinreichende Bedingungen

Ist $L|K$ endlich, dann auch algebraisch.

Eigenschaften

Existenz algebraischer Erweiterungen

Sei $K$ ein Körper und $f\in K[x]$ ein Irreduzibles Polynom. Dann gibt es eine Körpererweiterung $L|K$ und ein Element $a\in L$ mit $f(\alpha )=0$³

Zusammenhang zu Endlichkeit

Sei $L|K$ eine Körpererweiterung. Sind ${\alpha }_1,..,{\alpha }_n\in L$ algebraisch über $K$ und gilt $L=K({\alpha }_1,...,{\alpha }_n)$, dann ist die Erweiterung $L|K$ endlich⁴

Erweiterungen und Teilkörper

Sei $L|K$ eine Körpererweiterung und $T\subseteq L$ die Teilmenge bestehend aus den Elementen, die algebraisch über $K$ sind. Dann ist $T$ ein Teilkörper von $L$ ²

Beispiele

Erweiterung durch ein Element

Erweitert man einen Körper $K$ um ein algebraisches Element $\alpha$, so ist der Erzeugter Zwischenkörper $K[a]$ algebraisch.

Ich habe diese Zwischenkörper Einfacher Algebraisch Erzeugter Zwischenkörper genannt.

Footnotes

1. Gerkmann - Definition 12.7 ↩

2. Gerkmann - Satz 12.9 ↩ ↩²

3. Gerkmann - Satz 12.6 ↩

4. Gerkmann - Proposition 12.8 ↩