Divergenzsatz

Beschreibung

Der Divergenzsatz ist eine Verallgemeinerung des Hauptsatz der Differential und Integralrechnung. Er besagt, dass die aufsummierte Divergenz eines Vektorfeldes auf eines (vermutlich beschränkten) Raumes $V$ gleich der aufsummierten Divergenz auf dem Rand des Raumes ist $\partial V$

Definition

Sei $K$ ein (vermutlich kompakter) Raum und $X:K\to V^n$ in Vektorfeld (Vektorraum). Dann gilt ${\int }_K\nabla \cdot XdA={\int }_{\partial K}n\cdot Xdl$ $n$ ist hier die normale zum Rand von $K$.

Beweis: Die Divergenz beschreibt, wie viel Wasser an einem Punkt hinein kommt oder weg kommt. Das Wasser das den Rand überquert ist einfach das Wasser, dass $K$ verlässt oder betritt. Die Summe allen Wassers, das über den Rand geht, ist die Summe, die in $K$ generiert oder verloren geht.

Definition durch das Äußere Differential

Der Divergenzsatz kann durch ein Äußeres Differential beschrieben werden. Verwende statt einem Vektorfeld eine $1$-Differentialform $\omega$. Man erhält: ${\int }_{K}d\ast \omega ={\int }_K\ast \omega$ Die Darstellung sieht sehr ähnlich wie Stokes Satz aus!