Globale Lipschitzstetigkeit bzgl. zweiter Variable

Description

Für eine lipschitzstetige Funktion existiert ein Doppelkegel, dessen Ursprung entlang des Graphen bewegt werden kann, sodass dieser stets außerhalb des Doppelkegels bleibt.

Eine Funktion ist global lipschitzstetig, wenn sie differenzierbar ist und die Ableitung der Funktion einen Maximalen Wert annimmt.

Globale Lipschitzstetigkeit ist stärker als Gleichmäßige Stetigkeit. Insbseondere ist jede global lipschitzstetige Funktion lokal lipschitzstetig

Definition

Seien $k,m,n\in \mathbb{N}$ die Dimension von der $t$-Komponente, der $x$-Komponente und der Bildmenge von $g$. Sei $D\subseteq {\mathbb{R}}^k\times {\mathbb{K}}^n$, sodass $t\in {\mathbb{R}}^k$ und $x\in {\mathbb{K}}^n$ und $g:\begin{array}{rcl}D& \to & {\mathbb{K}}^m\\ (t,x)& \mapsto & g(t,x)\end{array}$

$g$ heißt Global Lipschitzstetig auf $D$ bezüglich $x$, wenn es $L>0$ gibt, sodass $||g(t,x)-g(t,y)||\le L||x-y||\text{ fu¨r alle }(t,x),(t,y)\in D$