Lineare Abbildung

Beschreibung

Definition

Seien $V,W$ $K$-Vektorräume. Eine Abbildung $f:V\to W$ heißt lineare Abbildung, wenn für alle $x,y\in V$ und $a\in K$ gilt:

• Homogenität: $f(ax)=af(x)$
• Additivität: $f(x+y)=f(x)+f(y)$

Charakterisierungen

Als Tensoren

Sei $U^{\ast }\otimes V$ ein Tensorprodukt. Sei $E^{\ast }=\{e_i^{\ast }:i\in I\}$ eine Basis von $U^{\ast }$. Dann gibt es eine Abbildung, die Elemente der Form $e_i^{\ast }\otimes v$ (für $v\in V$) mit Linearen Abbildungen identifiziert: $E^{\ast }\otimes V\to Hom(U,V);e_i^{\ast }\otimes v\mapsto e_i^{\ast }(\cdot )v$

Durch Linearität erhält man eine Identifikation mit allen Linearen Abbildungen $U\to V$: $U^{\ast }\otimes V\to Hom(U,V);{\sum }_{i\in I}{e}_i^{\ast }\otimes v\mapsto {\sum }_{i\in I}{e}_i^{\ast }(\cdot )v$

Das Finden einer dualen Basis ist nur in endlichen Räumen möglich. Daher ist die obere Identifikation nur bei endlichdimensionalem $U$ möglich.

\newcommand{\R}{\mathbb R}