Satz von Hurwitz

Beschreibung

Der Satz von Hurwitz sagt, wann der Grenzwert einer Folge von analytischen Funktionen Nullstellen hat.

Definition

Sei

• $\varnothing \ne \subseteq \mathbb{C}$ ein Gebiet
• $(f_n:U\to \mathbb{C}{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge analytischer Funktionen, die lokal gleißmäßig gegen $f:U\to \mathbb{C}$

1. Es sei $a\in U$ und $r>0$, sodass $\overline{K}(a,r)\subseteq U$ ist $f$ hat auf $\partial K(a,r)$ keine Nullstelle. Dann gibt es einen Index $n_{\overline{K}(a,r)}\in \mathbb{N}$, so dass $f$ und alle $f_n$ für $n\ge n_{\overline{K}(a,r)}\in \mathbb{N}$ in $K(a,r)$ gleich viele Nullstellen (gezählt mit Vielfachheiten) haben.
2. Sind die Funktionen $f_n$ für $n\in \mathbb{N}$ nullstellenfrei, dann ist $f$ endweder identisch 0 oder nullstellenfrei
3. Sind die Funktionen $f_n$ für $n\in \mathbb{N}$ injektiv, dann ist f entweder konstant oder injektiv