Erzeugter Zwischenkörper

Beschreibung

Der erzeugter Zwischenkörper $K(a)$ ist der kleinste Erweiterungskörper, der $a$ enthält.

Diese Definition lässt sich sehr leicht mit dem Ausdruck $K[a]$ verwechseln. $K[a]$ ist der kleinste Erweiterungsring von $K$, der $a$ enthält. $K$ ist nämlich als Körper auch ein Ring.

Definition

Kleinster Zwischenkörper

Sei $\tilde{L}|K$ eine Körpererweiterung und $S\subseteq \tilde{L}$ eine Teilmenge. Dann gibt es einen eindeutig bestimten Zwischenkörper $L$ von $\tilde{L}|K$ mit den Eigenschaften

1. $L\supseteq S$
2. Für jeden weiteren Zwischenkörper $L^{\prime }$ von $L^{\prime }|K$ mit $L^{\prime }\supseteq S$ gilt $L^{\prime }\supseteq L$

Insgesamt ist $L$ also der kleinste Zwischenkörper von $L|K$ mit der Eigenschaft $L\supseteq S$.¹

Der obere Körper $L$ wird mit $K(S)$ bezeichnet.

Eigenschaften

Vereinigung von Erzeugern

Es gilt $K(S\cup T)=K(S)(T)$²

Quotientenkörper des Erzeugten Teilrings

Der Körper $K({\alpha }_1,...,{\alpha }_n)$ ist der Quotientenkörper des Integritätsbereich $K[{\alpha }_1,...,{\alpha }_n]$.³

Beispiel

Einfach erzeugter Zwischenkörper

Ein Einfach Erzeugter Zwischenkörper ist ein Körper, der nur durch ein Element erweitert wird.

Sei $\tilde{L}|K$ eine Körpererweiterung und $a\in \tilde{L}$. Dann gilt $K(a)=\left\{\frac{f(a)}{g(a)}:f,g\in K[x],g(a)\ne 0\right\}$ wobei $K[x]$ der Polynomring über $K$ ist

Footnotes

1. Gerkmann - Satz 11.7 ↩

2. Gerkmann - Proposition 11.8 ↩

3. Böhm - Lemma 7.5.3 ↩