Residue

Description

The residue catches the most important information of a singularity: How it impacts an integral around it.

Definition

Seien $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ offen, $f:U\to \mathbb{C}$ analytisch Sei $a$ eine Isolated singularity. Der erste Koeffizient $c_{-1}$ des Hauptteils von $f$ in a heißt das Residuum von $f$ im Punkt $a$ (Notiert: $Res(f,a)$).

Properties

Residue of order 1 poles

Ist $a\in U$ ein Pol 1. Ordnung von $f:U\backslash \{a\}\to \mathbb{C}$, dann ist $Res(f,a)=\underset{z\in U\backslash \{a\}}{\underset{z\to a}{\lim }}(z-a)f(z)$ Kann man $f$ schreiben als $g/h$ wobei $a$ eine einfache Nst. von $h$ ist, dann gilt ferner: $Res(f,a)=\frac{g(a)}{h^{\prime }(a)}$

Residue of order $m$ poles

Ist $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ offen, $a\in U$ ein Pole m-ter Ordnung von $f:U\backslash \{a\}\to \mathbb{C}$ und $G:U\to \mathbb{C}$ die analytische Fortsetzung von $f:\begin{array}{rcl}U\backslash \{a\}& \to & \mathbb{C}\\ z& \mapsto & (z-a{)}^{m}f(z)\end{array}$, dann gilt: $Res(f,a)=\frac{1}{(m-1)!}{G}^{(m-1)}(a)$