Inverses Limit einer wirkenden Matrix

Beschreibung

Das inverse Limit (aus dem englischen inverse limit, in der Ergodentheorie auch natural extension) ist irgendwie ähnlich zum direkten Limit. Es ist ein Werkzeug, um aus mehreren kleinen Räumen einen neuen Raum zu konstruieren.

Im Folgenden soll ein ehr spezifisches Beispiel an einem Torus gegeben werden (ich kenne noch keine Verallgemeinerungen).

Inverses Limit über $\mathbb{N}$ wirkend auf $T^n$

Sei $T^n$ der Torus. Die $\mathbb{Z}$-Matrizen wirken natürlich auf dem Torus. Betrachte nun den Raum $(T^n{)}^{{\mathbb{N}}_0}$ der Punkte, den man durch eine unendliche Folge von Tori konstruiert. Statte den Raum mit einer Produkttopologie aus. Durch koordinatenweise Addition erhält der Raum eine Gruppenstruktur. Wir betrachten nun die mit dem Shift kommutierenden Homomorphismen $\phi$ von $(T^n{)}^{{\mathbb{N}}_0}$. Da sie mit dem Shift kommutieren, hängt der Wert $(\phi (x){)}_i$ nur von den Werten rechts von $x_i$ ab. Da der Homomorphismus stetig ist, hängt er von endlich vielen ($k$) Werten rechts neben $x_i$ ab. (genau wie in einer Blockabbildung). Da der Homomorphismus die additive Struktur erhält ist es eine endliche Summe von linearen Abbildungen: $(\phi (x){)}_i=\sum _j^k{\Phi }_j{x}_{j+i}$

Wir definieren nun das Inverse Limit über $\mathbb{N}$, wirkend auf $T^n$ als der kompakten, shift-invariante Untergruppe $\underset{{\mathbb{N}}_0}{\underleftarrow{\lim }}(T^n,A)=\underleftarrow{\lim }(T^n,A)=\{x\in (T^n{)}^{{\mathbb{N}}_0}:x_i=A{x}_{i+1},\forall i\in {\mathbb{N}}_0\}$

Die Regel $x_i=A{x}_{i+1}$ ist wie eine Transitionsregel, die das inverse Limit ähnlich zu einem Untershift endlichen Typs, aber mit einem meist überabzählbaren Alphabet, das in $T^n$ liegt. Die Matrix $A$ induziert wieder einen Automorphismus $A^{\ast }$ auf $\underleftarrow{\lim }(T^n,A)$ durch $A^{\ast }(x_0,x_1,...)=(A{x}_0,x_0,x_1,...)$. Dies ist einfach die Umkehrung des Shift. Das Symbol $A^{\ast }$ mit dem Stern soll wahrscheinlich an den anderen induzierten Automorphismus der Linke Bowen-Franks Gruppe erinnern.

tchensSymbolicDynamicsOnesided2012]]