Beschreibung
Die Knotenchirurgie ist eine Spezialfall der Chirurgie. Hierbei wird ein Knoten aus einer Mannigfaltigkeit geschnitten und ein neuer Knoten wird (gedreht) eingefügt. Damit lassen sich aus alten Mannigfaltigkeiten neue erstellen. Es lässt sich sogar zeigen, dass damit alle dreidimensionalen kompakten Mannigfaltigkeiten aus der Sphäre konstruiert werden können.
Definition
Sei ein Knoten. Betrachte eine Zylinder förmige Umgebung , sodass ein voller Torus ist. Damit ist ein Torus. Auf zeichnen wir nun eine einfache nicht-triviale, geschlossene Kurve, die sich aus Meridiankurven und longitudinalen Kurven zusammensetzt. Wir definieren die Chirurgie als: wobei so eingesetzt wird, dass die Kurve mit dem Meridian von identifiziert. Dadurch entsteht bis auf Homöomorphie eine eindeutige Mannigfaltigkeit. Wir bezeichnen als Ergebnis einer Chirurgie.
sind immer teilerfremd. Wären sie es nicht, dann kann die Kurve so verbogen werden, dass sie ein Vielfaches einer Kurve mit Meridiananteil und Longitudinalanteil ist, wobei teilerfremd sind. Ein echtes Vielfaches einer solchen Kurve kann aber nicht mehrfach um den Torus wickeln ohne sich selbst zu schneiden.
Eigenschaften
Eigenschaft
Sei ein Gefaserter Knoten in und eine nicht-triviale Chirurgie auf produziert eine -Mannigfaltigkeit mit bi-geordneter Fundamentalgruppe. Dann muss die Chirurgie longitudinal sein und das Alexander-Polynom hat eine positive Nullstelle. Des Weiteren fasert über .
Beispiele
[example] Triviale Chirurgie Besteht aus Meridian und Longituden, so wird der Meridian mit dem alten Meridian identifiziert und das Ergebnis der Chirurgie ist das gleiche wie zuvor. Die Kennzahl der Chirurgie ist
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