Unique factorization domain

Description

Jedes Element kann als Produkt von Primelementen geschrieben werden.

Charakterisierung

Definition

Ein faktorieller Ring ist ein Integral domain $R$ mit der Eigenschaft, dass jedes Element $r\in R$, dass weder null noch eine Einheit ist, als Produkt von Prime elements dargestellt werden kann. Dies bedeutet: Es gibt ein $n\in \mathbb{N}$ und Primelemente $p_1,...,p_n\in R$, so dass $r=p_1{p}_2...p_n$ gilt.

Note that the use of prime elements immediately imply a unique factorisation. Alternatively we could wish for a factorisation into irreducible elements and request uniqueness:

Characterisation

Ein Integral domain $R$ ist genau dann ein Faktorieller Ring, wenn: Jedes Element $r\in R$, dass weder Null noch eine Einheit ist, kann als Produkt von irreduziblen Elementen dargestellt werden und diese Darstellung ist im wesentlichen eindeutig. Dies bedeutet genau: Sind $m,n\in \mathbb{N}$ und $p_1...p_n=r=q_1...q_n$ zwei Darstellungen von $r$ als Produkt irreduzibler Elemente $p_i,q_j$, dann ist $m=n$ und nach eventueller Umummerierung der Elemente ist $p_i$ assoziiert zu $q_i$ für $1\le i\le m$[^1]

Properties

This is one of the the most important properties and I think it may even be characterising:

Prime elements are irreducible

In einem faktoriellen Ring sind die irreduzible Elemente und die Primelemente gleich.

Unique prime factorisation

Sei $R$ ein faktorieller Ring und $P\subseteq$ und $P\subseteq R$ ein Repräsentantensystem der Primelemente. Dann gibt es für jedes Element $0_R\ne f\in R$ eine eindeutig bestimmte Familie $({\nu }_p(f){)}_{p\in P}$ von Zahlen ${\nu }_p(f)\in {\mathbb{N}}_0$ und eine eindeutig bestimmte Einheit $\epsilon \in R^{\times }$, sodass $f=\epsilon {\prod }_{p\in P}{p}^{{\nu }_p(f)}$ Dabei gilt ${\nu }_p(f)=0$ für alle bis auf endlich viele Elemente $p\in P$.

Preserved under polynomial rings

If $R$ is a UFD, then $R[x]$ is one too.