Beschreibung
Die Warteschlangentheorie befasst sich mit den stochastischen Prozessen einer Warteschlange. Beispielsweise rufen in einem Call-Center Leute zufällig an. Der Bearbeiter benötigt dann eine zufällige Zeit, um den Anruf zu bearbeiten. Ein anderes Beispiel ist ein Server, der Pakete entgegennimmt.
Was für eine Theorie können wir entwickeln, die und das Wachstum der Warteschlange vorhersagt?
Herleitung
Die Zeit zwischen Anrufen bei einer Anrufrate von ist einfach die Wahrscheinlichkeit für keinen Anruf in der Zeitabhängige Poisson Verteilung, also
Ähnlich verhält es sich auch mit dem empfangenden Server, der eine Bearbeitungsrate hat. Offensichtlich wird die Schlange erst dann mit Sicherheit länger, wenn .
Zu weiteren Modellierung lässt sich eine unendliche Markow-Kette verwenden. Jede Warteschlangenlänge erhält einen Zustand. Es gibt also einen Zustand für eine leere Warteschlange. Kommt eine Person hinzu, so geht das System in den Zustand mit einer Person in der Warteschlange über.
Die Wahrscheinlichkeit, in einer sehr kleinen Zeitspanne (mit Platz für maximal einem gleichzeitigen Ereignis) in einem gegebenen Zustand zu landen, ist abhängig von der Wahrscheinlichkeit der Nebenzustände:
Nach Umstellung erhält man die Differentialgleichung:
Das Lösen dieser Dufferentialgleichung unendlicher Ordnung ist sehr schwierig. Wir können aber die Kritischer Punkt (Differentialgleichung) finden. Das wird der stabile Zustand sein, in dem sich die Warteschlange über einen längeren Zeitraum betrachtet nicht verändert. Um den kritischen Punkt zu erhalten, setzen wir die Ableitungen links auf . Das erhaltene unendliche Gleichungssystem ist leicht durch Induktion lösbar. Mit der Information, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergeben muss, bekommt man den kritischen Punkt
Eigenschaften
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