Einheitswurzel

Beschreibung

Die n-te Einheitswurzeln sind die komplexen Zahlen, die mit $n$ potenziert $1$ ergeben.

Definition

Sei $n\in \mathbb{N}$. Eine $n$-te Einheitswurzel in $\mathbb{C}$ ist ein Element $\zeta \in \mathbb{C}$ mit ${\zeta }^n=1$.

Eigenschaften

Erzeugte Gruppe

Eine die erste $n$-Einheitswurzel erzeugt eine zyklische Gruppe ${\mu }_n$. Sei $k\in \mathbb{Z}$. Genau dann gilt ${\mu }_n=⟨{\zeta }_n^k⟩$, wenn $ggT(k,n)=1$. (Das folgt aus Sätzen von Zyklische Gruppe.)

Einheitswurzeln mit dieser Eigenschaft nennt man Primitive Einheitswurzel.