Beschreibung
Diese Art des Polynom ist als Element eines Polynomring definiert.
Definiton
Definition als Polynomring
Die Menge der Polynome sind der Polynomring über einem Körper
Definition durch Koeffizienten-Folge
Für einen Körper bezeichnet die Menge die Menge der Polynome ist hierbei eine endliche Folge der Koeffizienten.
Polynomfunktion
Betrachte die Funktion mit , wobei der Auswertungshomomorphismus für ist. Elemente werden Polynomfunktionen genannt
Formale Ableitung
Siehe Formale Ableitung
Grad
Der Grad ist die größte Potenz einer Polynomfunktion, deren Koeffizient nicht ist. Ist das ganze Polynom gleich , so ist dessen Grad
Begrenzter Polynomring
Die Menge aller Polynome bis zu einem Grad wird mit bezeichnet.
Das ist für Eindeutigkeitssätze relevant. Beispielsweise ist die Auswertungsfunktion von und in die gleiche, die Polynome selbst aber nicht. Beschränkt man die Polynome bis Grad , dann ist das Polynom eindeutig.
Eigenschaften
Zerfallen in Linearfaktoren
Sei ein Körper, ein Polynom vom Grad und ein Erweiterungskörper von , über dem in Linearfaktoren zerfällt. Dann sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent
- Es gilt in
- Das Polynom besitzt in nur einfache Nullstellen, d.h. es ein und verschiedene Elemente , sodass
Hätte ein Polynom keine einfachen Nullstellen, dann hätte die Nullstelle die Form eines kritischen Punktes an der Nullstelle. Damit hätte die Ableitung auch an der Stelle eine Nullstelle und der ggT der beiden Funktionen wäre nicht 1.
Bilden einen Vektorraum
bildet einen -Vektorraum mit Basis (Lineare Algebra)
Beispiele
Polynome mit mehr Nullstellen als Grad
Das Polynom auf hat die Nullstellen .