Faktorring

Definition

Sei $R$ ein Kommutativer Ring und $I\subseteq R$ ein Ideal. Dann ist die Menge der Nebenklassen $R/I$ mit den Verknüpfung auf Nebenklassen (Ring) ein Ring, den man als Faktorring beeichnet.

Das ist im Grunde die gleiche Idee wie bei der Quotientengruppe

Kanonische Epimorphismus

Es gibt einen Zusammenhang zwischen dem ursprünglichen Ring $R$ und einem Faktorring $R/I$. Dieser Zusammenhang wird formalisiert durch den kanonischen Epimorphismus (siehe der Kanonischer Epimorphismus (Gruppe))

Eigenschaften

Isomorphie zu Körpern

Sei $L|K$ eine Körpererweiterung, $\alpha \in L$ algebraisch über $K$ und $f={\mu }_{K,\alpha }$. Dann gibt es einen Isomorphismus $\bar{\varphi }:K[x]/(f)\to K(\alpha ),\bar{\varphi }(g+(f))=g(\alpha )\text{ fu¨r alle }g\in K[x]$ Dabei bezeichnet $K(\alpha )$ den von $\alpha$ erzeugten Zwischenkörper der Erweiterung $L|K$, $(f)$ das von $f$ erzeugte Ideal und $K[x]/(f)$ ist ein Faktorring (der als Ergebnis einen Körper hat)[^3]

Der Beweis erfolgt über den Homomophiesatz für Ringe. Die grundsätzliche Idee ist, dass jedes Polynom $g$ durch $f(\alpha )$ mit Rest teilbar ist, wenn der Grad größer gleich $grad(f)$ ist. Man kann also jedes Polynom aus $K[x]$ teilen, bis ein Repräsentant $<grad(f)$ herauskommt. In diesen kann man $\alpha$ einsetzen. Abbildung gefunden.¹

Footnotes

1. Gerkmann - Satz 12.5 ↩