Gerschgorinkreis

Beschreibung

Die Gerschgorinkreise sind Kreise um bestimmte Werte, in denen Eigenwerte einer Matrix liegen können.

Definition

Zeilenweise Gerschgorinkreise

Wir definieren die (zeilenweisen) Gerschgorinkreise von $A$ durch: $G_k:=\overline{B}(a_{kk},{\sum }_{l=1,l\ne k}^n|a_{kl}|)=\text{ges}z\in \mathbb{C}:|z-a_{kk}|\le {\sum }_{l=1,l\ne k}^n|a_{kl}|$

Q: Zeilenweiser Gerschgorinkreis A: $G_k:=\overline{B}(a_{kk},{\sum }_{l=1,l\ne k}^n|a_{lk}|)=\left\{z\in \mathbb{C}:|z-a_{kk}|\le {\sum }_{l=1,l\ne k}^n|a_{kl}|\right\}$

Spaltenweise Gerschgorinkreise

Wir definieren die (spaltenweisen) Gerschgorinkreise von $A$ durch: $G_k^{\prime }:=G_k^{\prime }(A):=\text{ges}z\in \mathbb{C}:|z-a_{kk}|\le {\sum }_{l=1,l\ne k}^n|a_{lk}|$

Eigenschaften

Enthält Eigenwerte von $A$

Das Spektrum einer Matrix ist in den Gerschgorinkreisen enthalten. Kombinieren wir spaltenweise und Zeilenweise Gerschgorinkreise gilt für $A=(a_{kl})\in GL(n,\mathbb{C})$: $\sigma (A)\subseteq \text{klam}{\bigcup }_{k=1}^n{G}_k(A)\cap \text{klam}{\bigcup }_{k=1}^n{G}_k^{\prime }(A)$

Exaktere Bestimmung

Ist $D_1=G_{k_1}\cup ...\cup G_{k_q}$ und $D_2=G_{k_{q+1}}\cup ...\cup G_{k_n}$ eine disjunkte Zerlegung der Gerschgorinkreise in zwei Mengen.

Dann enthält $D_1$ genau $q$ algebraische Eigenwerte und $D_2$ genau $n-q$ Eigenwerte.