Homotopy equivalence

Beschreibung

Eine Homotopieäquivalenz definiert eine Äquivalenzrelation zwischen verschiedenen Räumen auf.

Es ist der Homotopieklasse sehr ähnlich, unterscheidet sich aber vor allem dadurch, dass Homotopieäquivalenz eine Äquivalenz auf Räumen definiert, während die Homotopieklasse eine Äquivalenz auf Funktionen definiert.

Die Homotopieäquivalenz ist gröber als ein Homöomorphismus, da sie erlaubt, dass Spaltungen eines Raumes zusammengeführt werden, solange sie sich nur später wieder spalten. Ein gutes Beispiel sind rechten drei dicken Linien, die alle homotopieäquivalent zueinander sind.

Definition

Eine stetige Abbildung $f:X\to Y$ heißt Homotopieäquivalenz, wenn es eine stetige Abbildung $g:Y\to X$ gibt, sodass die Konkatenationen homotop zur Identität sind $fg\simeq id\simeq gf$.

Wir bezeichnen $X,Y$ dann als Homotopieäquivalent oder Teil des gleichen Homotopietyp $X\simeq Y$.

Charakterisierung d n des Zylinders

Eine Abbildung zwischen Topologischer Raum $f:X\to Y$ ist eine Homotopieäquivalenz, genau dann wenn $X$ eine Retraktionsdeformation des Abbildungszylinder $M_f$.

Aus dieser Charakterisim.md)m.md)eitere Charakterisierung:

Charakterisierung durch dritten R nder.md)pieäquivalent**, wenn es einen dritten größeren Raum $Z$ gibt, sodass $X,Y$ als Retraktionsdeformation enthalten ist.

Eigenschaften

Homotopieäquivalenz durch Zusammenziehen von Unterräumen

Ist $(X,A)$ ein Paar von [[Zellkomplexhbarkeit|zusammenziehbaren]] Teilkomplex $A$, dann ist die Quotientenabbildung $X\to X/A$ eine Homotopieäquivalenz

Isomorphe Fundame $\phi :X[](Zusammenziehbarkeit.md)n[](Teilkomplex.[](Teilkomplex.md)morphismus(Fund[](Quotient$x_{0}\in X$.

Homotopieäquivalenz scheint also genauso stark auf [[FundamentaRetraktionsdeformation]].

Beispiele

Es ist möglich Zusammenzmd)ziehen, ohne den Homotopietyp zu ändern.

Zusammenziehbare Räume mit Homotopiefortsetzungs-Eigenschaft

Hat das Paar $(X,A)$ die Homotopiefortsetzungs-Eigenschaft und $A$ ist zusammenziehbar, dann ist die Quotientenabbildung $q:X\to X-A$ eine Homotopieäquivalenz.

Kreisring und md)er sich zudeformieren lässt. Folglich sind die beiden Räume homotopieäquivalent

lit_hatcherAlgebraicTopology2002