Divergenz (Lineare Algebra)

Beschreibung

Die Divergenz ist eine spezielle Ableitung eines Vektorfeld (Vektorraum). Sie gibt Aufschluss darüber, wie stark die Pfeile eines Vektorfeldes konvergieren oder divergieren.

Beschreiben die Pfeile eines Vektorfeldes einen Wasserfluss, so gibt die Divergenz an, wie viel Wasser an jedem Punkt verschwindet oder hinzukommt. Bleibt die Menge des Wassers immer gleich, ist die Divergenz überall $0$ und das Vektorfeld ist ein spezielles Vektorfeld.

Definition

Sei $X:{\mathbb{R}}^n\to R^n$ ein differenzierbares Vektorfeld (Vektorraum). Dann ist die Divergenz definiert durch das Skalarprodukt mit dem Nabla-Operator: $divX:=\nabla \cdot F=\text{klam}\frac{\partial }{\partial x_1},...,\frac{\partial }{\partial x_n}\cdot \text{klam}{F}^1,...,F^n=\frac{\partial }{\partial x_1}{F}^1,...,\frac{\partial }{\partial x_n}{F}^n$

Das Resultat der Divergenz ist eine Skalares Feld ${\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$. Das macht $div$ zu einem Operator auf Vektorfeldern.

Definition durch äußeres Differential

Man kann die Divergenz durch das Äußeres Differential und den Hodge-Stern Operator definieren als: $div(X)=\ast (d\ast X^{\ast }{)}^{\ast }$

Eigenschaften

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