Prime Restklassengruppe

Definition

Die Einheitengruppe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$ des Restklassenrings $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ bezeichnet man als prime Restklassengruppe modulo $n$ $n$ muss nicht notwendigerweise prim sein. ${}^{\times }$ bezeichnet die Multiplikative Gruppe des Modulokörpers. Das verringern eines Elements kommt daher, dass $0$ keine Einheit ist.¹

Eigenschaften

Anzahl der Elemente

Die Anzahl der Elemente wird durch die Eulersche Phi Funktion $\phi (n)$ angegeben.

Rechenregeln

Sei $p$ eine Primzahl.

• $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }=\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$.
• $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong \{1\},(\mathbb{Z}/2^2\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$
• $(\mathbb{Z}/2^m\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2^{m-2}\mathbb{Z}$
• $(\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong \mathbb{Z}/p^{m-1}(p-1)\mathbb{Z}$ (für ungerade $p$)²

Isomorphie zur Automorphismengruppe

$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$ ist isomorph zu $Aut(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$.

Der Isomorphismus ist \begin{align} \phi:(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times &\to Aut(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \\ a+n\mathbb{Z} &\mapsto \tau_a \end{align}, wobei ${\tau }_a(x)=ax,x\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$³

Erzeugung

Die Prime Restklassengruppe wird durch eine Primitivwurzel erzeugt.

Übungen

Zth Klausur 2019 Aufgabe 3

a)

$(\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}{)}^{\times }=(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/25\mathbb{Z}{)}^{\times }=(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/20\mathbb{Z})$.

b)

Nein, ist sie nicht. Sie hat Ordnung $20$.

Footnotes

1. Gerkmann - Folgerung 9.5 ↩

2. Gerkmann - Satz 9.8 ↩

3. Gerkmann - Satz 3.13 ↩