Quasikonforme Abbildung

Beschreibung

Eine Quasikonforme Abbildung ist eine Verallgemeinerung der Biholomorphe Funktion. Es wird auf die Winkeltreue verzichtet.

Während konforme Abbildungen infinitesimale Kreise auf Kreise abbilden, bilden Quasikonforme Abbildungen infinitesimale Kreise auf Ellipsen mit Exzentrizität maximal $K$ ab.

Definition

Seien $G,H$ Gebiete der komplexen Zahlenebene. Ein Homöomorphismus $f:G\to H$ heißt $K$-quasikonform, wenn es eine positive reelle Zahl $K\ge 1$ gibt, sodass für $k:=\frac{K-1}{K+1},0\le k\le 1$ fast überall gilt: $|\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}|\le k|\frac{\partial f}{\partial z}|$ Das kleinstmögliche $K$, sodass eine Abildung quasikonform ist, wird als Quasikonforme Konstante bezeichnet. Sie misst, wie konform (d.h. Winkelerhaltend) eine Abbildung ist.

Das $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}$ wirkte auf mich ein wenig befremdlich. Gemeint ist hier die Ableitung in Richtung $\bar{z}$ für ein beliebiges $z\in \mathbb{C}$.

Definition auf Quasikonformen Flächen

Seien $S_1,S_2$ quasikonforme Flächen. Eine Abbildung $f:S_1\to S_2$ ist eine quasikonforme Abbildung, wenn wenn es ein Quasikonformer Homöomorphismus für einen und in Folge für alle komplexen Strukturen auf $S_1$ und $S_2$ ist.

Eigenschaften

Eigenschaft