Topological space

Description

Ein Topologischer Raum ist eine Verallgemeinerung von metrischen Räumen. Bei Topologien, lässt sich zwei Punkten keine Entfernung als Zahl angeben. Es lassen sich jedoch manchmal zwei Entfernungen vergleichen

Definition (Topology)

Eine Topologie ist ein Mengensystem $T$ bestehend aus Teilmengen einer Grundmenge $X$, das die folgenden Axiome erfüllt:

• $\varnothing ,X\in T$
• Der Durchschnitt endlicher vieler Elemente von $T$ ist Element von $T$
• Die Vereinigung von Elementen vo $T$ ist Element von $T$

Man nennt dann $T$ eine Topologie auf $X$ und das Paar $(X,T)$ einen topologischen Raum.

Definition (Topological space)

Sei $T$ eine Topologie auf $X$. Dann nennt maTopological spaceX, T)$ einen topologischen Raum.

Often enough we will just say space for topological space.

Examples

Coarse topology

Sei $X$ eine Menge. Dann nennt man ${\mathcal{T}}_i=\{\varnothing ,X\}$ die undiskrete Topologie.

Hier sind alle Punkte zueinander Nah.

Discrete topology

Siehe Diskrete Topologie

Subspace topology

Siehe Teiltopologie

Cocuntable & Cofinite Topology

The cocountable topology consists of all sets whose complement is countable or finite. (including the empty set)

These topologies are pathological. Two points can be topologically distinguished as there are open neighbourhoods containing respectively one of each. But they are not Hausdorff spaces. It’s usually not possible to have two disjoint open neighbourhoods.

Metric topology

A Metric space indices a topology generated by all open $ϵ$-Balls for all $ϵ>0$.

Quotient topology

Siehe Quotient topology