Fortsetzung eines Körperhomomorphismus

Beschreibung

Eine Fortsetzung eine Körperhomomorphismus ist eine Erweiterung eines Körperhomomorphismus auf eine größere Definitionsmenge, welche auch ein Körper ist.

Definition

Sei $L|K$ eine Körpererweiterung und $\varphi :K\to \tilde{K}$ ein Körperhomomorphismus von $K$ in einen weiteren Körper $\tilde{K}$. Ein Körperhomomorphismus $\psi :L\to \tilde{K}$ wird Fortsetung genannt, wenn $\psi {|}_K=\varphi$ erfüllt ist.

Eigenschaften

Eindeutigkeit

Sei $L|K$ eine Körpererweiterung. $S\subseteq L$ eine ein Erzeuger mit $L=K(S)$ und $\varphi :K\to \tilde{K}$ ein Körperhomomorphismus in einen weiteren Körper $\tilde{K}$. Sind dann ${\psi }_1,{\psi }_2$ zwei Fortsetzungen mit ${\psi }_1{|}_S={\psi }_2{|}_S$, dann gilt ${\psi }_1={\psi }_2$.

D.h. ein Körperhomomorphismus ist durch Definition des Erzeugers eindeutig.¹

Fortsetzungssatz

Sei $\varphi :K\to \tilde{K}$ ein Körperisomorphismus. Seien außerdem $L|K$ und $\tilde{L}|\tilde{K}$ Körpererweiterungen und $\alpha \in L$ ein über $K$ Algebraisches Element mit Minimalpolynom $f\in K[x]$. Ist dann $\tilde{\alpha }\in \tilde{L}$ eine Nullstelle von $\tilde{f}=\varphi (f)\in \tilde{K}[x]$, dann gibt es eine eindeutig bestimmte Fortsetzung $\psi$ von $\varphi$ auf $K(\alpha )$ mit $\psi (\alpha )=\tilde{\alpha }$. Dieser Homomorphismus $\psi$ definiert einen Isomorphismus zwischen beiden Körpern $K(\alpha )$ und $\tilde{K}(\tilde{\alpha })$

Cool dieser Satz zeigt dass wenn man die Nullstellen des Minimalpolynoms ${\mu }_{K,\alpha }$ vertauscht, dass dann der entstehende Körper $K(\tilde{\alpha })$ isomorph zum vorherigen ist. Der nächste Satz verallgemeinert das auf beliebige Polynome.Und er ist eine Umkehrung. Schmarrn! Wann anders anzupassen

Konkretere Formulierung: $\varphi :=id,K=\tilde{K},L=\tilde{L}$ Sei $L|K$ eine Körpererweiterung und $\alpha \in L$ ein über $K$ Algebraisches Element mit Minimalpolynom $f\in K[x]$. Ist dann $\tilde{\alpha }\in L$ eine Nullstelle von $f$, dann gibt es eine eindeutig bestimmte Fortsetzung $\psi$ von $id$ auf $K(\alpha )$ mit $\psi (\alpha )=\tilde{\alpha }$. Dieser Homomorphismus $\psi$ definiert einen Isomorphismus zwischen beiden Körpern $K(\alpha )$ und $\tilde{K}(\alpha )$

Anzahl der Fortsetzungen

Sei $\varphi :K\to \tilde{K}$ ein Körperisomorphismus. Seien außerdem $L|K$ und $\tilde{L}|\tilde{K}$ Körpererweiterungen, $\alpha \in L$ algebraisch über $K$ und $f={\mu }_{K,\alpha }$. Dann stimmt die Anzahl der Fortsetzungen $\psi :K(\alpha )\to \tilde{L}$ von $\varphi$ überein mit der Anzahl der Nullstellen von $\tilde{f}=\varphi (f)$ in $\tilde{L}$²

Konkretere Formulierung Sei $\varphi :K\to K$ . Seien außerdem $L|K$ und $L|K$ Körpererweiterungen, $\alpha \in L$ algebraisch über $K$ und $f={\mu }_{K,\alpha }$. Dann stimmt die Anzahl der Fortsetzungen $\psi :K(\alpha )\to L$ von $\varphi$ überein mit der Anzahl der Nullstellen von $f=\varphi (f)$ in $L$²

Übungen

Checkliste Gerkmann

Aufgabe 1

Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Körperhomomorphismus $K\to \tilde{L}$ zu einem Homomorphismus $K(a)\to \tilde{L}$ fortgesetzt werden kann, falls $a$ ein algebraisches Element über $K$ bezeichnet? Was ist über die Anzahl solcher Fortsetzungen bekannt?

$\tilde{L}$ muss eine Erweiterung eines zu $K$ isomorphen Körpers $\tilde{K}$ sein. Vielleicht folgt sogar das schon aus der Aufgabenstellung.. Es gibt dann so viele Nullstellen, wie $\varphi (f)$ Nullstellen hat (siee oben)

Footnotes

1. Gerkmann - Satz 13.1 ↩

2. Gerkmann - Satz 13.4 ↩ ↩²