Kettenkomplex

Beschreibung

Ein Kettenkomplex ist eine unendliche Exakte Sequenz, die beschreibt, wie Kettengruppen zueinander in Verbindung stehen.

Definition

Eine Exakte Sequenz $...\to C_{n+1}\stackrel{{\partial }_{n+1}}{\to }{C}_n\stackrel{{\partial }_n}{\to }{C}_{n-1}\to ...\to C_1\stackrel{{\partial }_1}{\to }{C}_0\stackrel{{\partial }_0}{\to }0$ von abelschen Gruppen $C_i$ mit Homomorphismen ${\partial }_i$ unter der Bedingung (der Exaktheit) ${\partial }_n{\partial }_{n+1}=0$.

Es gibt einige nützliche Namenskonventionen:

• Elemente $Ker({\partial }_n)$ werden Zykel genannt Das Aufaddieren von Randkomponenten, die Null ergeben entspricht dem Zusammenstückeln eines geschlossenen Hyperpfads.
• Elemente $Im({\partial }_n)$ werden Ränder genannt Das Anwenden von ${\partial }_n$ auf das $n$-Skelett gibt dessen $n-1$-dimensionalen Ränder zurück.

Die Bedingung ${\partial }_n{\partial }_{n+1}=0$ erinnert sehr an die Bedingung $d^{2}f=0$ des Äußeres Differential aus der De Rham Kohomologiegruppe.

Eigenschaften

Eigenschaft

lit_hatcherAlgebraicTopology2002