Magnitudenhomologie (Metrischer Raum)

Beschreibung

Aus der Theorie der Magnitudenhomologie (Graphtheorie) entstand durch Verallgemeinerung eine Homologietheorie von metrischen Räumen. Dabei werden Punkte nacheinander gezeichnet. Die Konstruktion erinnert mich dabei an bisschen an eine metrische diskrete Definiiton einer Lokale Geodätische.

Definition Kette

Sei $X$ ein Metrischer Raum. Eine Kette ist eine Folge $(x_0,x_1,...,x_n)\in X^{n+1}$ mit $x_{i-1}\ne x_i$. $n$ bezeichne den Grad und $|x|=d(x_0,x_1)+...+d(x_{n-1},x_n)$ dessen Länge. Die Menge aller Ketten mit Grad $n$ und Länge $l$ wird mit $P_n^l$ bezeichnet.

Kettengruppe

Der Kettenkomplex $(B_{\ast }^l(X),{\partial }_{\ast })$ wird durch alle Ketten von Grad $n$ und Länge $l$ erzeugt und ist folgendermaßen definiert. $B_n^l(X)={⨁}_{x\in P_n^l}\mathbb{Z}\cdot ⟨x⟩$

Randhomomorphismen

Der Randhomomorphismus zwischen den Kettengruppen ist definiert durch ${\partial }_n(⟨x_0,...,x_n⟩)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i\{\begin{array}{ll}⟨x_0,...,{\hat{x}}_i,...,x_n⟩& x_{i-1}\prec x_i\prec x_{i+1}\\ 0& \end{array}$ Dies ist der gleiche wie bei der Magnitudenhomologie (Graphtheorie). $\prec$ bezeichnet hier, dass der $x_i$ metrisch zwischen den beiden anderen Punkten liegt.

Homologie

Die Homologiegruppen $H_n^{\Sigma ,l}(X):=H_n(B_{\ast }^l(X))$ ist wie jede Homologiegruppe durch die oberen Kettenkomplexe definiert. Sie wird als die Magnitudenhomologie in Gradiierung $l$ bezeichnet

Eigenschaften

Nullte Homologiegruppe

Die Nullte Homologiegruppe besteht aus Ketten aus einem Punkt. Ihre Länge ist immer $0$. Daraus ergeben sich die folgenden Eigenschaften für die $0$-te Homologiegruppe.

• $H_0^{\Sigma ,0}={\mathbb{Z}}^{\oplus X}$
• $H_0^{\Sigma ,l}=0$ für $l>0$
• $H_n^{\Sigma ,0}=0$ für $n>0$

lit_kanetaMagnitudeHomologyMetric2021