Spektralsequenz

Beschreibung

Eine Spektralsequenz ist wie eine Homologietheorie aber besser. In gewisser Weise verallgemeinert es Homologietheorien, indem es eine unendliche Folge von ihnen in einem “Buch” zusammenfasst.

Definition

Eine Spektralsequenz ist eine unendliche Folge $E^0,E^1,...$ von bi-gradiierten Modulen. Wir stellen uns die Bi-Gradiierung als eine Summe von Modulen vor, die auf einer zweidimensionalen Fläche strukturiul bildet eine Seite eines Buches. Jede der Seiten besitzt ein Differential ${\partial }_{pq}^r:E_{pq}^r\to E_{p-r,q+r}^r$ die innerhalb eines Gradiierten Modulen abbildet. Für alle $r\ge 0$ ist $E^r=H(E^{r-1},{\gamma }^{r-1})$.

Eigenschaften

Eigenschaft

Beispiele

Spektralsequenz aus Filtration

Wir betrachten nun unser Hauptbeispiel. Sei $C$ eine graduierte Filtration von Kettenkomplexen (Filtrationen sind einfach Teilkomplexe, die konsekutiv inkludieren). $...F_{p-1}(C)\subseteq F_p(C)\subseteq ...\subseteq C_{\ast }$ Dies induziert die $0$-te Seite einer Spektralsequenz durch $E^0(C)=F_p/F_{p-1}$, die natürlich bi-gradiiert ist: $E_{p,q}^0=(F_{p}C/F_{p-1}C{)}_{p+q}$.

lit_hatcherAlgebraicTopology2002 md)--- literatur: “lit_hatcherAlgebraicTopology2002” veranstaltung: “2023WiSe Osaka University Topologie Seminar” typ: Mathematikartikel

Beschreibung

Eine Spektralsequenz ist wie eine Homologietheorie aber besser. In gewisser Weise verallgemeinert es Homologietheorien, indem es eine unendliche Folge von ihnen in einem “Buch” zusammenfasst.

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Eine Spektralsequenz ist eine unendliche Folge $E^0,E^1,...$ von bi-gradiierten Modulen. Wir stellen uns die Bi-Gradiierung als eine Summe von Modulen vor, die auf einer zweidimensionalen Fläche strukturiul bildet eine Seite eines Buches. Jede der Seiten besitzt ein Differential ${\partial }_{pq}^r:E_{pq}^r\to E_{p-r,q+r}^r$ die innerhalb eines Gradiierten Modulen abbildet. Für alle $r\ge 0$ ist $E^r=H(E^{r-1},{\gamma }^{r-1})$.

Eigenschaften

Eigenschaft

Beispiele

Spektralsequenz aus Filtration

Wir betrachten nun unser Hauptbeispiel. Sei $C$ eine graduierte Filtration von Kettenkomplexen (Filtrationen sind einfach Teilkomplexe, die konsekutiv inkludieren). $...F_{p-1}(C)\subseteq F_p(C)\subseteq ...\subseteq C_{\ast }$ Dies induziert die $0$-te Seite einer Spektralsequenz durch $E^0(C)=F_p/F_{p-1}$, die natürlich bi-gradiiert ist: $E_{p,q}^0=(F_{p}C/F_{p-1}C{)}_{p+q}$.

lit_hatcherAlgebraicTopology2002 --- literatur: “lit_hatcherAlgebraicTopology2002” veranstaltung: “2023WiSe Osaka University Topologie Seminar” typ: Mathematikartikel

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Eine Spektralsequenz ist wie eine Homologietheorie aber besser. In gewisser Weise verallgemeinert es Homologietheorien, indem es eine unendliche Folge von ihnen in einem “Buch” zusammenfasst.

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Eine Spektralsequenz ist eine unendliche Folge $E^0,E^1,...$ von bi-gradiierten Modulen. Wir stellen uns die Bi-Gradiierung als eine Summe von Modulen vor, die auf einer zweidimensionalen Fläche strukturiul bildet eine Seite eines Buches. Jede der Seiten besitzt ein Differential ${\partial }_{pq}^r:E_{pq}^r\to E_{p-r,q+r}^r$ die innerhalb eines Gradiierten Modulen abbildet. Für alle $r\ge 0$ ist $E^r=H(E^{r-1},{\gamma }^{r-1})$.

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Spektralsequenz aus Filtration

Wir betrachten nun unser Hauptbeispiel. Sei $C$ eine graduierte Filtration von Kettenkomplexen (Filtrationen sind einfach Teilkomplexe, die konsekutiv inkludieren). $...F_{p-1}(C)\subseteq F_p(C)\subseteq ...\subseteq C_{\ast }$ Dies induziert die $0$-te Seite einer Spektralsequenz durch $E^0(C)=F_p/F_{p-1}$, die natürlich bi-gradiiert ist: $E_{p,q}^0=(F_{p}C/F_{p-1}C{)}_{p+q}$.

lit_hatcherAlgebraicTopology2002 --- literatur: “lit_hatcherAlgebraicTopology2002” veranstaltung: “2023WiSe Osaka University Topologie Seminar” typ: Mathematikartikel

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Eine Spektralsequenz ist wie eine Homologietheorie aber besser. In gewisser Weise verallgemeinert es Homologietheorien, indem es eine unendliche Folge von ihnen in einem “Buch” zusammenfasst.

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Eine Spektralsequenz ist eine unendliche Folge $E^0,E^1,...$ von bi-gradiierten Modulen. Wir stellen uns die Bi-Gradiierung als eine Summe von Modulen vor, die auf einer zweidimensionalen Fläche strukturiul bildet eine Seite eines Buches. Jede der Seiten besitzt ein Differential ${\partial }_{pq}^r:E_{pq}^r\to E_{p-r,q+r}^r$ die innerhalb eines Gradiierten Modulen abbildet. Für alle $r\ge 0$ ist $E^r=H(E^{r-1},{\gamma }^{r-1})$.

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Spektralsequenz aus Filtration

Wir betrachten nun unser Hauptbeispiel. Sei $C$ eine graduierte Filtration von Kettenkomplexen (Filtrationen sind einfach Teilkomplexe, die konsekutiv inkludieren). $...F_{p-1}(C)\subseteq F_p(C)\subseteq ...\subseteq C_{\ast }$ Dies induziert die $0$-te Seite einer Spektralsequenz durch $E^0(C)=F_p/F_{p-1}$, die natürlich bi-gradiiert ist: $E_{p,q}^0=(F_{p}C/F_{p-1}C{)}_{p+q}$.

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