Kettenabbildung

Beschreibung

Eine Kettenabbildung sendet Ketten zu Ketten und erhält dabei Randeigenschaften.

Definition

Sei $f:X\to Y$ eine Abbildung zwischen Topologichen Räumen. Dann induziert diese durch Komposition und anschließende lineare Fortsetzung eine Abbildung $f_{\#}(\sigma )=f\circ \sigma$ auf den Simpliziale n-Kette. Diese Abbildung kommutiert mit der Simplizialer Randhomomorphismus $f_{\#}\partial =\partial f_{\#}$. Solche Abbildungen $f_{\#}$ werden Kettenabbildungen genannt.

Eigenschaften

Erhält Zykel und Ränder

Kettenabbildungen erhalten Ränder aus $Im({\partial }_{n+1})$ und Zykel aus $Ker({\partial }_n)$

Beweis: $\partial f_{\#}\alpha =f_{\#}\partial \alpha =0$ und ähnlich beim Bild.

Induziert Homologiehomomorphismus

Aus oberer Eigenschaft folgt, dass die Kettenabbildung $f_{\#}$ einen Homomorphismus $f_{\ast }:H^n(X)\to H^n(Y)$ der Homologiegruppe induziert. Die Abbildung erfüllt folgende Eigenschaften

• $(fg{)}_{\ast }=f_{\ast }{g}_{\ast }$
• $1_{\ast }=1$

lit_hatcherAlgebraicTopology2002