Kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen

Beschreibung

Die Kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen ist ein nettes Hilfsmittel, mit der sich Zusammenhänge der Relativhomologie beschreiben lassen.

Definition

Betrachte als Einführendes Beispiel folgende kurze exakte Sequenz: $0\to C_n(A)\stackrel{i}{\to }{C}_n(X)\stackrel{j}{\to }{C}_n(X,A)\to 0$ Schreibt man diese Sequenz senkrecht und fügt die Randhomologien hinzu, erhält man folgende Sequenz: Kommutiert das Diagram (Was es bei Relativtopologien nach Definition immer tut), bezeichnen wir esals die Kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen.

Eigenschaften

Lange exakte Sequenz

Die obere Sequenz kann in eine lange exakte Sequenz von Homologien umgewandelt werden: $...\to H_n(A)\stackrel{i_{\ast }}{\to }{H}_n(B)\stackrel{j_{\ast }}{\to }{H}_n(C)\stackrel{\partial }{\to }{H}_{n-1}(A)\stackrel{i_{\ast }}{\to }{H}_{n-1}(B)\to ...$ Wobei $H_n(A)=\ker \partial /im\partial$ die Homologiegruppen von $A_n$ sind.

Sie kann folgendermaßen konstruiert werden: Wegen der Kommutativität der kurven exakten Sequenz sind $i,j$ Kettenabbildungen und induzieren die Homologieabbildungen $i_{\ast },j_{\ast }$. $\partial$ ist grob gesagt definiert als der Rand eines Relativzykels in $C$ mit Rand in $A$. Formell betrachte einen Zykel $c\in C_n$. Da $j$ surjektiv ist, gibt es ein $b\in B_{n+1}$ mit $j(b)=c$. Das Element $\partial b\in B_{n-1}$ ist in $\ker j$, da $j(\partial b)=\partial j(b)=\partial c=0$. Da $\ker (j)=im(i)$ gibt es ein $a\in A_{n-1}$ sodass $i(a)=\partial b$. Es gilt dann $\partial a=0$ da $i(\partial a)=\partial i(a)=\partial \partial b=0$ und $i$ injektiv ist. Definiere zuletzt $\partial :H_n(C)\to H_{n-1}(A)$ indem die Homologieklasse von $c$ auf die Homologieklasse von $a$ abgebildet wird.

lit_hatcherAlgebraicTopology2002