Legendre Polynome

Beschreibung

Legendre Polynome sind spezielle Polynome, die sich ganz ungewöhnlich bei Integration von $0$ bis $1$ verhalten und auch sonst sehr merkwürdige und praktische Eigenschaften haben.

Definition

Die Legendre-Polynome sind definiert durch: $L_n=\frac{n!}{(2n)!}\text{klam}{\text{klam}{x^2-1}^n}^{(n)}$

Eigenschaften

Integral ist $0$

Für ein Legendre-Polynom $L_n$ und ein weiteres Polynom $p(x)$ mit $grad(p)<grad(L_n)$ gilt: ${\int }_{-1}^1{L}_n(t)p(t)dt=0$

$n$ einfache Nullstellen

Aus der Integraleigenschaft folgt, dass $L_n$ $n$ einfache Nullstellen auf dem Intervall $]-1,1[$ hat.

Polynombasis

Die Legendrepolynome sind eine Basis des Raums der Polynome. D.h. jedes Polynom kann als Linearkombination von Legendre-Polynomen geschrieben werden. Das erlaubt komplizierte Integrationsprobleme zu vereinfachen, indem man ein gegebenes Polynom in eine Linearkombination aus Legendrepolynomen umwandelt und die obere Integraleigenschaft nutzt.