Einparametrige Gruppe

Beschreibung

Eine Einparametrige Gruppe von Transformationen einer Menge ist oft eine Gruppe, die auf Diffeomorphismen von Mengen wirkt. Sie entsteht beispielsweise durch ein Vektorfeld. Es handelt sich um eine Gruppe $G$, bei der es eine Gruppenoperation bzw. Gruppenhomomorphismus von der abelschen Gruppe $(\mathbb{R},+)$ auf $G$ gibt.

Einparametrige Gruppen werden gewöhnlich mit $t$ im Exponenten $\{g^t\}$ notiert. Den Parameter $t$ bezeichnet man dabei üblicherweise als Zeit.

Gruppen, die für jede Zahl aus $\mathbb{Z}$ eine Transformation besitzen, nennt man auch Einparametrige Gruppe von Transformationen einer Menge mit diskreter Zeit

Definition

Eine Gruppe $G$ heißt Einparametrige Gruppe von Transformationen einer Menge wenn es einen Homomorphismus $\varphi :(\mathbb{R},+)\to G$ gibt.

Beispiele

Verschiebung

$g^t$ bezeichnet eine Verschiebung um $2t$ Die Transformation $g^t$ auf $x$ bedeutet also: $g^{t}x=x+2t$

Eine solche Menge an Transformationen erfüllt offensichtlich die Gruppenaxiome

Streckung

$g^t$ bezeichnet die Streckung im $e^t$ Also $g^t=e^t$

Eine solche Menge an Transformationen erfüllt offensichtlich die Gruppenaxiome

Induziert durch Vektorfeld

Sei $X$ ein glattes Vektorfeld (Vektorraum) mit kompaktem Träger. Dann gibt es für jeden Punkt $x$ eine kleine, glatte Integralkurve $c_x(t)$ mit Fußpunkt $c_x(0)=x$. Ändert man die Perspektive ${\theta }_t(x)=c_x(t)$ so bilden die ${\theta }_t$ eine einparametrige Gruppe

lit_arnoldOrdinaryDifferentialEquations1992 lit_gallotRiemannianGeometry2004