Tensorprodukt

Beschreibung

Das Tensorprodukt ist eine Operation, die das Produkt zweier Vektoren ermöglicht. Mit dem Wort Produkt meinen wir eine Operation, die sich Distributiv zur Addition verhält.

Im Speziellen suchen wir eine Produktoperation, die universal ist, d.h. von der sich alle anderen Produkte von zwei Vektoren durch Lineare Abbildungen ableiten lassen.

Definition durch koordinatenbasierte Konstruktion

Seien $V,W$ Vektorräume mit den endlichen Basen $B_V=(v_i),B_W=(w_j)$. Das Tensorprodukt $V\otimes W$ ist definiert als ein Vektorraum dessen Basis sich durch das karthesische Produkt errechnet: $B_V\times B_W=\{(v_i,w_j):v_i\in B_V,w_j\in B_W\}$

Wir definieren das Tensorprodukt für Basiselemente $v_i\in V,w_j\in W$ folgendermaßen: $v_i\otimes w_i=(v_i,w_j)$

Das Produkt anderer Vektoren $v=\sum a_i{v}_i\in V,w=\sum b_j{w}_j$ ergibt sich dann aus Linearität: $v\otimes w=\sum a_i{b}_j(v_i\otimes w_j)$

Eine andere Möglichkeit, ist das Tensorprodukt als eine Art formelles Produkt zu definieren (dem Freien Produkt sehr ähnlich) zu definieren und dieses mit wünschenswerter Struktur auszustatten. Dadurch erhält man eine Definition, die sich sehr gut verallgemeinern lässt.

Definition durch Präsentation

Seien $V,W$ Vektorräume. Betrachte den Vektorraum, dessen Basis Produkte aller Vektorpaare sind: $V\ast W:=span\{v\ast w:v\in V,w\in W\}$ Wir statten den Raum nun mit folgenden Relationen aus:

• Linearität: $(\lambda v)\ast w=\lambda (v\ast w)$
• Linearität: $v\ast (\lambda w)=\lambda (v\ast w)$
• Distributivgesetz: $v\ast (w_1+w_2)=(v\ast w_1)\ast (v\ast w_2)$
• Distributivgesetz: $(v_1+v_2)\ast w=(v_1\ast w)\ast (v_2\ast w)$

Der resultierende Quotient ist dann genau das Tensorprodukt

Universelle Eigenschaft

Wie in der Beschreibung angegeben, wollen wir ein Produkt definieren, von dem sich alle anderen Produte ableiten lassen. Wir definieren das Tensorprodukt durch folgende universelle Eigenschaft:

Ein Tensor Produkt von zwei Vektorräumen $U$ und $V$ ist ein Vektorraum $U\otimes V$ mit einer Bilinearen Abbildung $\otimes :U\times V\to U\otimes V$ die folgende universelle Eigenschaft erfüllt: Für jede bilineare Abbildung $\beta$ gibt es eine eindeutige Lineare Abbildung $\lambda :U\otimes V\to W$ sodass $\beta =\lambda \circ \otimes$

Eigenschaften

Dimension

Da die Basis des Tensorprodukt durch das Kartesisches Produkt definiert ist, ist dessen Dimension das Produkt der Dimensionen von $V$ und $W$.

Umwandlung von Bilinearen Abbildungen in Lineare

Aus der universellen Eigenschaften folgt, dass man jede Bilineare Abbildung $\beta$ durch Anwendung des Tensorprodukts in eine Lineare Abbildung umwandeln kann.

D.h. man erhält dadurch einen Isomorphismus zwischen $Hom(U\otimes V,W)\cong Bil(U,V;W),\lambda \mapsto \lambda \circ \otimes$

Kommutativität

Das Ensorprodukt ist kommutativ in der Hinsicht, dass die beiden Vektorräume insomorph sind: $U\otimes V=V\otimes U$

Assoziativität

Das Tensorprodukt ist Assoziativ $(U\otimes V)\otimes W=U\otimes (V\otimes W)$

Können zur Charakterisierung von Linearen Abbildung benutzt werden

Siehe Lineare Abbildung

Beispiel

Tensorprodukt von Formen

Seien $V,W$ $\mathbb{R}$-Vektorräume. $\phi \in V^{\ast }$ und $\psi \in W^{\ast }$ seien Multilineare Form. Dann ist das Tensorprodukt $\phi \otimes \psi$ der beiden definiert als: $v\otimes w\mapsto (V\otimes W{)}^{\ast }$

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