Multilineare Abbildung

Beschreibung

Multilineare Abbildungen sind in gewisser Weise Verallgemeinerung von Lineare Abbildung. Sie bezeichnen Abbildungen in mehreren Komponenten, die in jeder Komponente linear sind.

Definition

Seien $V_i$ und $W$ Vektorräume. Eine Abbildung $\mu :V_1\times ...\times V_k\to W$ wird multilinear (oder $k$-Linear) genannt, wenn sie linear in jeder Variablen ist, d.h. alle Abbildungen $\mu (v_1,...,v_{i-1},\cdot ,v_{i+1},...,v_k):V_i\to W$ linear sind.

Eigenschaften

Charakterisierung durch Bilder der Basen

Multilineare Abbildungen sind festgelegt durch die Werte auf den Basen der $V_i$. Seien $J_i$ die Basen von $V_i$ Kennt man also $\mu (e_{j_i},...,e_{j_k})$ für alle $e_{j_i},...,e_{j_k}\in J_1\times ...J_k$, so kennt man alle anderen Funktionswerte durch lineare Kombination.

Berechnung aus der Basis

Die multilineare Abbildung von beliebigen Vektoren $v_i={\sum }_{j_i}{a}_{i{j}_i}{e}_{j_i}\in J$ lässt sich errechnen durch: $\mu (v_1,...,v_k)={\sum }_{j_1,...,j_k}\text{klam}{\prod }_{i=1}^k{a}_{i{j}_i}\cdot \mu (e_{j_1},...,e_{j_k})$

Charakterisierung durch Tensorprodukt

Es für die Menge aller Multilinearen Abbildungen $Mult(U_1^{\ast },...,U_n^{\ast };V)$:

u_1^* \otimes ... \otimes u_n^* \otimes v &\mapsto ((u_1, .., u_n) \mapsto u_1^*(u_1) \cdot ... \cdot u_n^*(u_n)v)\end{align}$$ *Die oberen beiden Mengen sind isomorph, wenn alle Faktoren $U_i$ endlich sind.* # Beispiele ## $1$-Lineare Abbildungen Das sind einfach lineare Abbildungen. ## Skalarprodukte auf $\R$ Auf $\R$ sind [[Skalarprodukt]] $2$-Linear. Wir sagen auch **Bilinear** ## $k$-lineare Formen Siehe [[Multilineare Form]] $\newcommand{\ges}[1]{\left\{ #1 \right\}}$ $\newcommand{\wink}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}$ $\newcommand{\klam}[1]{\left( #1 \right)}$ $\newcommand{\R}{\mathbb R}$ $\newcommand{\inv}[1]{#1 ^{-1}}$