Positive Ordnung

Beschreibung

Es ist möglich, die Idee der Präfix-Ordnung (Zopf) und der Suffix-Ordnung zu kombinieren und dadurch eine Halbordnung auf Zöpfen zu definieren, die ich vorerst Positive Ordnung nenne. Die Ordnung hat einige interessante Eigenschaften.

Definition

Für $A,B\in B_n$ schreibe $A\le B$ wenn $B=C_{1}A{C}_2$ für positive $C_1,C_2\in B_n^{+}$.

Eigenschaften

Bezug zur trivialen und inversen Elementen.

• Zöpfe sind genau dann größer als $e$, wenn sie positiv sind
• Für Erzeuger gilt: $e\le {\sigma }_i\le \Delta$
• Für inverse Elemente gilt $A\le B⟺B^{-1}\le A^{-1}$

Produkteigenschaft

Gilt ${\Delta }^{r_1}\le B\le {\Delta }^{r_2}$ und ${\Delta }^{s_1}\le B\le {\Delta }^{s_2}$, dann gilt ${\Delta }^{r_1+s_1}\le BC\le {\Delta }^{r_2+s_2}$ Daraus folgt, dass jeder Zopf zwischen zwei Potenzen von $\Delta$ eingeordnet werden kann. Wir schreiben $[r,s]:=\{B\in B_n:{\Delta }^r\le B\le {\Delta }^s\}\subseteq B_n$

Jeder Zopf liegt also in einem Intervall. Besteht da ein Bezug zum Farey-Intervall? Ich würde der Frage liebend gerne nachgehen. Außerdem habe ich das Gefühl, dass das $r$ und das $s$ mit dem Infimum und Supremum aus der Linksnormalform übereinstimmt.

Vereinfachte Schreibweise des Intervalls

Es ist möglich, aus den Elementen des Intervalls $[r,s]$ ein Element ${\Delta }^r$ herauszuziehen. Wir schreiben: $[r,s]={\Delta }^r[0,s-r]$

lit_elrifaiAlgorithmsPositiveBraids1994