Analytische Funktion mit Stammfunktion

Beschreibung

Eine Analytische Funktion mit Stammfunktion ist eine Analytische Funktion, für die eine Stammfunktion existiert.

Definition

Seien

• $U\subseteq \mathbb{C}$ der Definitionsbereich von $f$ und Wertebereich von $\gamma$
• $f:U\to \mathbb{C}$ eine komplexwertige Funktion

$f$ ist genau dann eine Analytische Funktion mit Stammfunktion wenn:

• $f$ hat auf $U$ eine Stammfunktion^{1 2}

Aquivalente Definition I

$f:U\to \mathbb{C}$ hat eine Stammfunktion wenn $f$ ist stetig und für jeden Komplexer Stückweise Differenzierbarer Weg $\gamma :[0,1]\to U$ gilt: $\underset{\gamma }{\int }f(z)dz=0$^{1 2}

Hinreichende Bedingungen

Einfach Zusammenhängende Menge

Eine Analytische Funktion $f:U\to \mathbb{C}$ hat eine Stammfunktion wenn $U\subseteq \mathbb{C}$ einfach zusammenhängend ist.

Eigenschaften

Schleifenintegrale

Alle Schleifenintegrale bei Funktionen mit Stammfunktion haben den Wert 0. $\underset{\gamma }{\int }f(z)dz=0$ ³

Beispiel

Die Funktion $f(z)=\frac{1}{z}$ hat auf $\mathbb{C}\backslash \{0\}$ keine Stammfunktion, da Schleifenintegrale um den Pol nicht 0 sind. Das kann man gut erkennen, indem man die Formel für die Umlaufzahl etwas variiert.

Footnotes

1. Zenk - Satz 22.4.4 ↩ ↩²

2. Zenk - Satz 22.4.5 ↩ ↩²

3. Zenk - Satz 22.4.2 ↩