Einfach Erzeugter Zwischenkörper

Beschreibung

Ein Einfach Erzeugter Zwischenkörper ist ein Körper, der nur durch ein Element erweitert wird. Es wird mit $K(\alpha )$ bezeichnet. Man sagt auch, dass der Körper $K(\alpha )$ aus $K$ durch Adjunktion von $\alpha$ entsteht.

Die Bezeichnung habe ich mir ausgedacht, weil diese Struktur Eigenschaften hat, die ich gerne vom allgemeinen Fall getrennt hätte.

Darstellung

Sei $\tilde{L}|K$ eine Körpererweiterung und $a\in \tilde{L}$. Dann gilt $K(a)=\left\{\frac{f(a)}{g(a)}:f,g\in K[x],g(a)\ne 0\right\}$ wobei $K[x]$ der Polynomring über $K$ ist

Übungen

Checkliste Gerkmann

Aufgabe 1

Welche Gestalt haben die Elemente in einem Erweiterungskörper der Form $K(\alpha )$. $a+b\alpha +c{\alpha }^2+d{\alpha }^3+...,a,b,c,d\in K$ Abhängig davon, was der Erweiterungsgrad der Erweiterung ist.

Aufgabe 2

Geben Sie zwei verschiedene Basen des $\text{Q}$-Vektorraums $\text{Q}(\sqrt{2})$ an.

$1,\sqrt{2}$ oder $1,-\sqrt{2}$