Tschebyscheffpolynome

Beschreibung

Tschebischeffpolynome sind Polynome deren Nullstellen sich besonders gut für Interpolationsprobleme eignen.

Definition

Tschebischeffpolynome sind rekursiv definiert: $T_0(x):=1,T_1(x):=x,T_n(x):=2x{T}_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)$

Nicht-rekursive Charakterisierung

$T_n:=\{\begin{array}{ll}\cos (n\arccos x)& x\in [-1,1]\\ \cosh (n{\cosh }^{-1}x)& x\in [1,\infty ]\\ (-1{)}^n\cosh (n{\cosh }^{-1}(-x))& x\in ]-\infty ,-1]\end{array}$

Eigenschaften

Funktion mit kleinster Abschätzung aller Funktionen mit speziellem Wachstum

Für Tschebyscheffpolynome gilt im besonderen: $1=\Vert T_n{|}_{[a,b]}{\Vert }_{\infty }=\min \text{ges}\Vert p{|}_{[-1,1]}{\Vert }_{\infty }:p\in Po{l}_n(\mathbb{R}),deg(p)=n,a_n(p)=2^{n-1}$

Funktion mit kleinster Abschätzung aller Funktionen mit einem bestimmten Wert

Seien $[a,b]$ eine Interval, $\alpha :[a,b]\to [-1,1]$ die lineare Reparaetrisierung auf $[-1,1]$ und $s\in \mathbb{R}\backslash [a,b]$ , dann definieren gilt $\left|\frac{1}{T_n(\alpha (s))}\right|=\Vert p_s{|}_{[a,b]}\Vert =\min \text{ges}\Vert p{|}_{[a,b]}{\Vert }_{\infty }:p\in Po{l}_n(\mathbb{R}),deg(p)=n,p(s)=1$

Das Tschebyscheffpolynom ist also die Funktion, die die kleinsten Werte in einem Intervall annimmt und durch einen speziellen Punkt verläuft. Diese Eigenschaft macht sie für Approximationen sehr nützlich.