Komplexe Potenz

Beschreibung

Die komplexe Potenz ist wie eine normale Potenz, erlaubt aber komplexe Eingaben. Damit kann man aber auch Wurzeln basteln.

Definition

Sei

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}\backslash \{0\}$ ein Gebiet.
• $\log :U\to \mathbb{C}$ ein Zweig des Logarithmus
• $b\in \mathbb{C}$

Dann heißt $\begin{array}{rrcl}{z}^b& U& \to & \mathbb{C}\\ & z& \mapsto & e^{b\log (z)}\end{array}$ ein Zweig der b-ten Potenz auf $U$¹

Eigenschaften

Für $b\in \mathbb{Z}$ ist $z^b$ eindeutig. Für andere Werte aber nicht unbedingt²

Footnotes

1. Zenk - Definition 23.3.7 ↩

2. Zenk - Bemerkung 23.3.8 ↩