Local Lipschitz continuity with respect to second variable

Description

Für eine lipschitzstetige Funktion existiert ein Doppelkegel, dessen Ursprung entlang des Graphen bewegt werden kann, sodass ein Teilgraph, einer Umgebung um den Ursprung stets außerhalb des Doppelkegels bleibt.

Definition (Lokale Lipschitzstetigkeit bzgl zweiter Variable)

Seien $k,m,n\in \mathbb{N}$ die Dimension von der $t$-Komponente, der $x$-Komponente und der Bildmenge von $g$, $D\subseteq {\mathbb{R}}^k\times {\mathbb{K}}^n$, sodass $t\in {\mathbb{R}}^k$ und $x\in {\mathbb{K}}^n$ und $g:\begin{array}{rcl}D& \to & {\mathbb{K}}^m\\ (t,x)& \mapsto & g(t,x)\end{array}$

$g$ heißt Lokal Lipschitzstetig auf $D$ bezüglich $x$, wenn es zu jedem $(t,x)\in D$ eine Umgebung U gibt, sodass $f{|}_{U\cap D}$ Global Lipschitzstetig auf $U\cap D$ bezüglich $x$ ist. Ist g unabhängig von t, dann muss man bezüglich $t$ natürlich nicht sagen.

Charakterisierung (Lokale Lipschitzstetigkeit bzgl. zweiter Variable)

Seien $k,m,n\in \mathbb{N}$ die Dimension von der $t$-Komponente, der $x$-Komponente und der Bildmenge von $g$. Sei $V\subseteq {\mathbb{R}}^k\times {\mathbb{K}}^n$ ein Gebiet und $g:\begin{array}{rcl}V& \to & {\mathbb{K}}^m\\ (t,x)& \mapsto & g(t,x)\end{array}$

Ist die partielle Ableitung nach der 2. Variable (also $x$) $D_{2}g:\begin{array}{rcl}V& \to & L({\mathbb{K}}^n,{\mathbb{K}}^m)\\ (t,x)& \mapsto & (D_{2}g)(t,x)\end{array}$ stetig, dann ist $g$ lokal Lipschitzstetig.

Properties

Theorem

Auf einem Gebiet ist die Summe/Produkt bzgl. $x$ lokal lipschitzstetiger Funktionen wieder lokal lipschitzstetig bzgl. $x$[^3]