Beschreibung
Ein kubischer Spline ist ein Spline von Ordnung . Wir werden Punkte durch kubische Teilgraphen miteinander verbunden.
Definition
Sei Knotenvektoren für . Zu ist ein kubischer Spline gesucht: sodass Das Spline ist Abschnittsweise eine kubische Funktion
Ein kubischer Spline nicht eindeutig.
Randbedingungen
Durch das Hinzufügen von Randbegingungen können wir das gesuchte Spline genauer machen. Es gibt die Arten:
Natürliche Randbedingung
Setzt man bei einem Spline die natürliche Randbedingung voraus, existert ein einziger passender Spline.
Periodische Randbedingung
Dirichlet Randbedingung
Eigenschaften
Kubische Splines berechnen
Ansatz: Abschnittsweise kubische Funktionen haben die Form .
Aufgrund von und der Definition kubischer Splines ist eine Spline dann in Ordnung, wenn die Gleichungen erfüllt sind:
Wir definieren nun die Krümmung an jedem Knoten . (Die Krümmung verändert sich linear auf den Abschnitten zwischen den Knoten) Knotenabstände Dann definieren wir eine Hilfsfunktion, die die Änderung der Steigung der verbindenden Segmente in den Knotenpunkten beschreibt:
Q: von Kubischen Splines (Abstand zwischen den Stützpunkten) A:
Q: von kubischen Splines (Änderung der Steigung) A:
Das obere Gleichungssystem ist genau dann erfüllt, wenn die Gleichungen erfüllt sind:
Die Spline errechnet sich dann durch:
b_k &= \frac{y_{k+1}-y_k}{h_k}- \frac{h_k}{6} (s''_{k+1} + 2s_{k}'') \\ c_k &= \frac{s_k''}{2} \\ d_k &= \frac{s_{k+1}''-s_k''}{6h_k}\end{align*}$$ Q: Koeffizienten einer kubischen Spline $a_k + b_k(x-x_k) + c_k (x-x_k)^2 + d_k(x-x_k)^3$ A: $\begin{align*} a_k &= y_k \\ b_k &= \frac{y_{k+1}-y_k}{h_k}- \frac{h_k}{6} (s''_{k+1} + 2s_{k}'') \\ c_k &= \frac{s_k''}{2} \\ d_k &= \frac{s_{k+1}''-s_k''}{6h_k}\end{align*}$ <!--ID: 1675186119189--> Q: Bedingungen an eine kubische Spline zu den Stützpunkten $(x_0, ..., x_N)$ durch die Werte $(y_0, ..., y_N)$. A: - $p_0(x_0) = y_0$ - $\forall k \in \{1, ..., N-1\}: p_{k-1}(x_k) = y_k = p_k(x_k)$ - $p_{k-1}'(x_k) = p_k'(x_k)$ - $p_{k-1}''(x_k) = p_k''(x_k)$ - $p_{N-1}(x_N) = y_N$ <!--ID: 1675184847110--> ### Bei natürlichen Randbedingungen Fügt man die natürliche Randbedingung $s''(x_0) = s''(x_N) = 0$ hinzu so lassen sich die $s_k''$ ganz einfach als Lösung folgender Matrix ausrechnen: $$\begin{pmatrix} 2(h_0+h_1) &h_1 & &\\ h_1 &2(h_1+h_2) &h_2 &\\ &h_2 &\ddots &h_{n-2}\\ & &h_{n-2} &2(h_{n-2}+h_{n-1}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s_1'' \\ s_2'' \\ \vdots \\ s_{n-1}'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g_1 \\ g_2 \\ \vdots \\ g_{n-1} \end{pmatrix}$$ *Da die obere Matrix eine [[Strikt Diagonaldominante Matrix]]* ist, ist die Matrix invertierbar und die Lösung damit eindeutig. Q: LGS einer kubischen Spline bei natürlichen Randbedingungen A: $\begin{pmatrix} 2(h_0+h_1) &h_1 & &\\ h_1 &2(h_1+h_2) &h_2 &\\ &h_2 &\ddots &h_{n-2}\\ & &h_{n-2} &2(h_{n-2}+h_{n-1}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s_1'' \\ s_2'' \\ \vdots \\ s_{n-1}'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g_1 \\ g_2 \\ \vdots \\ g_{n-1} \end{pmatrix}$ <!--ID: 1675186119203--> ## Fehlerabschätzungen Fehlerabschätzungen für $f \in C^4[a, b]$ mit $\Delta = (x_0, ..., x_n)$. Wir definieren zu der **Feinheit der Zerlegung** weitere Kenngrößen der Knoten: $$\begin{align*} h_k &:= x_{k+1}-x_k \\ h_{min} &:= \min \ges{h_k: k = 0, ..., N-1} \\ h_{max} &:= \max \ges{h_k: k = 0, ..., N-1} \end{align*}$$ Eine Spline $s \in S_{\Delta, 3}$, die $s(x_k) = f(x_k)$ erfüllt und für die es ein $C > 0$ gibt sodass $$\max \ges{|s''(x_k) - f''(x_k)|: k \in \{0, ..., n\}} \neq C \|f^{(4)}\|_{\infty}h^2_{max}$$ dann gelten die Fehlerabschätzungen $$\begin{align} \|f-s\|_\infty \leq c\|f^{(4)}\|_\infty h_{max}^4 \\ \|f'-s'\|_\infty \leq 2c\|f^{(4)}\|_\infty h_{max}^3\\ \|f''-s''\|_\infty \leq 2c\|f^{(4)}\|_\infty h_{max}^2 \\ \|f'''-s'''\|_\infty \leq 2c\|f^{(4)}\|_\infty h_{max}^1 \end{align}$$ mit $$c:= \frac{h_{max}}{h_{min}} \klam{C+ \frac{1}{4}}$$ ## Bedingung für obere Voraussetzung Gilt statt der Natürlichen Randbedingung $s''(x_0) = s''(x_n) = 0$, dann gilt für ein $f \in C^4[x_0, x_n]$ automatisch die Ungleichung $$\max \ges{|s''(x_k) - f''(x_k)|: k \in \{0, ..., n\}} \neq C \|f^{(4)}\|_{\infty}h^2_{max}$$ für $C = \frac{3}{4}$. newcommand{\ges}[1]{\left\{ #1 \right\}}$ $\newcommand{\wink}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}$ $\newcommand{\klam}[1]{\left( #1 \right)}$ $\newcommand{\R}{\mathbb R}$ $\newcommand{\inv}[1]{#1 ^{-1}}$