Polynom

Beschreibung

Dieser Artikel befasst sich mit den allgemeinen Polynomen.

Polynome sind ein stark untersuchtes Gebiet der Mathematik. Daher ist es kein Wunder, dass sie sich in vielen Bereichen wieder finden. Damit die Artikel nicht zu sehr aufschwellen, wird eine Unterteilung vorgenommen:

• Polynom (Komplexe Analysis)
• Polynom (Didaktik)
• Polynom (Algebra)

Definition

Definition (Komplexitätstheorie)

Ein Polynom ist eine Funktion $p:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ der Form: $p(n)=\sum _{i=0}^k{a}_i\cdot n\hat{ı}=a_k{n}^k+a_{k-1}{n}^{k-1}+...+a_{1}n+a_0$

Eigenschaften

Im folgenden werden einige Eigenschaften von Polynomen aufgelistet. Die meisten sind auch im Komplexen korrekt, stehen aber hier, weil sie auf reelle Zahlen anwendbar sind und damit für die Schule interessant sind.

Summe der Nullstellen

Bei einem Polynom der Form $P_n(z)=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0$ ist die Summe der Nullstellen $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$¹

Produkt der Nullstellen

Bei einem Polynom der Form $P_n(z)=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0$ ist das Produkt der Nullstellen $-\frac{a_0}{a_n}$¹

Satz über rationale Nullstellen

Sei $f(x)=a_n{x}^n+...+a_{1}x+a_0$ ein Polynom. Hat $f$ eine (gekürzte), rationale Nullstelle $\frac{m}{n}$, dann gilt $n|a_n$ und $m|a_0$.

Damit kann überprüft werden, ob ein Polynom rationale Nullstellen besitzt. Wenn ja, können diese durch den Satz eingeschränkt werden.

Siehe Teilbarkeit

Vereinfachte Form von Gleichungen

Jede Gleichung, welche nur aus Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division besteht, kann als Lösung eines Polynoms umgeschrieben werden.

D.h. die Nullstellen des Polynoms sind genau die Lösungen der Gleichung. Das Lösen der Nullstellen, löst also alle Gleichungen mit den oberen Bedingungen.

Veränderung des ersten Koeffizienten bei Verschiebung und Skalierung

Für den ersten Koeffizienten $a_n$ eines Polynom $p:[a,b]\to \mathbb{R}$ mit einer linearen Reparametrisierung $\beta :[-1,1]\to [a,b]$ gilt: $a_n(p\circ \beta )=a_n(p)\frac{(b-a{)}^n}{2^n}$

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Footnotes

1. https://www.mathsisfun.com/algebra/polynomials-sums-products-roots.html ↩ ↩²