Torsion (Kettenkomplex)

Beschreibung

Die Torsion ist eine Zahl, die einem azyklischen Kettenkomplex zugeordnet werden kann.

Definition

Sei $C$ ein Azyklischer Kettenkomplex von endlich generierten freien $R$-Modulen $C_{\ast }=(0\to C_m\stackrel{{\partial }_m}{\to }{C}_{m-1}\stackrel{{\partial }_{m-1}}{\to }...\stackrel{{\partial }_2}{\to }{C}_1\stackrel{{\partial }_1}{\to }{C}_0\to 0)$ Die Untermodule $B_i=Im({\partial }_{i+1})$ sind freie $R$-Module von endlichem Rang wenn $R$ ein Hauptidealring ist. Seien $b_i,c_i$ geordnete Basen von $B_i$ und $C_i$. Wählt man eine Hebung ${\tilde{b}}_{i-1}$ von $b_{i-1}$ in $C_i$, so bildet das Paar $(b_i,{\tilde{b}}_{i-1})$ eine Basis von $C_i$ (dies kommt wegen der implizierten Produktstruktur der exakten Sequenz zustande.). Die Determinante der zu $c_i$ Basiswechselnden Matrix wird mit $[(b_i,{\tilde{b}}_{i-1})/c_i]$ bezeichnet. Wir definieren die Torsion von $C$ als $\tau (C_{\ast },c)={\prod }_{i=0}^m[(b_i,{\tilde{b}}_{i-1})/c_i{]}^{(-1{)}^{i+1}}\in K(R)$

Die Torsion ist abhängig von der Wahl der Basis $c_i$ aber nicht von $b_i$.

Eigenschaften

Bezug zu Basiswechsel

Wählt man eine andere Basis $c_i^{\prime }$, dann ändert sich die Torsion folgendermaßen: $\tau (C_{\ast },\{c_i^{\prime }\})=\tau (C_{\ast },\{c_i\}){\prod }_{i=0}^m[c_i,c_i^{\prime }{]}^{(-1{)}^{i+1}}$

Beispiele

Beispiel: Torsion einer Zellkomplexes

Sei $X$ ein zusammenhängender Zellkomplex und $Y$ ein zusamenhängender Teilkomplex. Sei $p:\tilde{X}\to X$ die Universelle Überlagerung. Wähle einen Fußpunkt $\ast$ in $Y$ und $\tilde{\ast }$ in $p^{-1}(\ast )$. Für eine Schleife mit Fußpunkt $\gamma \in {\pi }_1(X,\ast )$, bezeichne mit $t_{\gamma }$ die Decktransformation, die $\ast$ entlang $\gamma$ sendet. Für einen Homöomorphismus $\text{rh}[](Zellkomplex.md)md)i_1(X,\ast )\to R$ betrachte den [[Relativhomologie|relativen Ketg.md)g.md)R) = C_{*}(\tilde X, p^{-1}(Y); \mathbb{Z}) \otimes_{\mathbb{Z}[](023]]