Genauigkeitsgrad

Beschreibung

Der Genauigkeitsgrad einer Quadraturformel beschreibt, bis zu welchem Polynomgrad die Formen exakt integrieren kann.

Definition

Sei $\rho$ eine Gewichtsfunktion. Eine Quadraturformel $I_n$ hat genau dann Genauigkeitsgrad $r\in {\mathbb{N}}_0$ wenn $I_n(x^m)={\int }_a^b{x}^m\rho (x)dx$ für alle $m\le r$ jedoch $I_n(x^{r+1})\ne {\int }_a^b{x}^{r+1}\rho (x)dx$

Q: Genauigkeitsgrad A: (I_n(x^m) = \int_a^b x^m \rho(x),dx) für alle (m \leq r) Aber nicht für größere (r)

Eigenschaften

Exakte Integration beliebiger Polynome

Da beliebige Polynome als Summe von Monomen geschrieben werden können, sind alle Polynome von Grad $\le r$ integrierbar ist.

Obere Schranke für exakte Integrierbarkeit

$I_n$ ist für das Polynom $p:\mathbb{R}\to \mathbb{R},p(x):={\prod }_{i=0}^n(x-x_i{)}^2$ nicht exakt sein, da $I_n(p)=0\ne {\int }_a^{b}p(x)\rho (x)dx$

Bedingung für Positiven Genauigkeitsgrad

$I_n$ hat Genauigkeitsgrad $\ge 0$ genau dann wenn ${\int }_a^b\rho (x)dx=I_n(1)=(b-a){\sum }_{i=0}^n{\sigma }_i$ Ist also $\rho (x)=1$, dann ist ${\sum }_{i=0}^n{\sigma }_i=1$